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THÉORIE DE LA CHALEUR.

sion de la chaleur après qu’on aura retiré le foyer. En désignant par $\mathrm {F} x$ la valeur initiale de la température, on aura $\mathrm {F} x=\mathrm {A} e^{-x\mathrm {\sqrt {\frac {HL}{KS}}} }$ ; $\mathrm {A}$ est la température initiale du point le plus échauffé. On fera, pour simplifier le calcul,

$\mathrm {A=1\quad et\quad {\frac {HL}{KS}}} =1.$

On a donc $\mathrm {F} x=e^{-x}$ on en déduit $\mathrm {Q} =\int dx\,e^{-x}\,\cos .qx$ et prenant l’intégrale de $x$ nulle à $x$ infinie $\mathrm {Q} ={\frac {1}{1+q^{2}}}.$ Ainsi la valeur de $v$ en $x$ et $t,$ est donnée par l’équation suivante :

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}\,e^{-q^{2}kt}.$

350.

Si l’on fait $t=0,$ on aura ${\frac {\pi v}{2}}=\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}\,;$ ce qui correspond à l’état initial. Donc l’expression ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}$ équivaut à $e^{-x}$. Il faut remarquer que la fonction $\mathrm {F} x,$ qui représente l’état initial ne change point de valeur d’après l’hypothèse lorsque $x$ devient négative. La chaleur communiquée par le foyer avant que l’état initial ne fût formé, s’est propagée également à la droite et à la gauche du point 0, qui la reçoit immédiatement, il s’ensuit que la ligne dont l’équation serait $y={\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq.\cos .qx}{1+q^{2}}}$ est composée de deux branches symétriques que l’on forme en répétant à droite et à gauche de l’axe de $y$ la partie de la logarithmique qui est à la droite de l’axe des $y,$ et a pour équation