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CHAPITRE IX.

348.

Supposons en premier lieu que toutes les températures initiales des points compris entre a et b, depuis $x=-1,$ jusqu’à $x=1,$ aient pour valeur commune 1, et que les températures de tous les autres points soient nulles, la fonction $\mathrm {F} x$ sera donnée par cette condition. Il faudra donc intégrer, par rapport à $x,$ depuis $x=-1$ jusqu’à $x=1,$ car le reste de l’intégrale est nulle d’après l’hypothèse. On trouvera ainsi :

$\mathrm {Q} ={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {\sin .q}{q}}\quad \mathrm {et} \quad {\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int {\frac {dq}{q}}\,e^{-q^{2}kt}.\cos .qx\,\sin .q.$

Le second membre peut être facilement converti en série convergente, comme on le verra par la suite ; il représente exactement l’état du solide en un instant donné, et si l’on y fait $t=0,$ on exprime l’état initial.

Ainsi la fonction ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq}{q}}\,\sin .a.\cos .qx$ équivaut à l’unité, si l’on donne à $x$ une valeur quelconque comprise entre $-1$ et $1$ : mais cette fonction est nulle si l’on donne à $x$ toute autre valeur non comprise entre $-1$ et $1$. On voit par-là que les fonctions discontinues peuvent aussi être exprimées en intégrales définies.

349.

Pour donner une seconde application de la formule précédente, nous supposerons que la barre a été échauffée en un de ses points par l’action constante d’un même foyer, et qu’elle est parvenue à l’état permanent que l’on sait être représenté par une courbe logarithmique.

Il s’agit de connaître suivant quelle loi s’opérera la diffu-