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THÉORIE DE LA CHALEUR.

et que l’on achevât l’intégration depuis $q=0$ jusqu’à $q={\frac {1}{0}},$ on trouverait une fonction de $x$ ; il s’agit de résoudre la question inverse, c’est-à-dire, de connaître quelle est la fonction de $q$ qui, étant mise au lieu de $\mathrm {Q,}$ donnera pour résultat la fonction $\operatorname {F} x,$ problème singulier dont la solution exige un examen attentif.

En développant le signe de l’intégrale, on écrira comme il suit l’équation dont il faut déduire la valeur de $\mathrm {Q}$ :

${\begin{aligned}\operatorname {F} x=dq\,\mathrm {Q} _{1}\cos .q_{1}x&+dq\,\mathrm {Q} _{2}\cos .q_{2}x+dq\,\mathrm {Q} _{3}\cos .q_{3}x\\&+dq\,\mathrm {Q} _{4}\cos .q_{4}x+dq\,\mathrm {Q} _{5}\cos .q_{5}x+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

Pour faire disparaître tous les termes du second membre, excepté un seul, on multipliera de part et d’autre par $dx\,\cos .rx,$ et l’on intégrera ensuite par rapport à $x$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=n\pi ,$ $n$ étant un nombre infini ; $r$ représente une grandeur quelconque égale à l’une des suivantes : $q_{1},\,q_{2},\,q_{3},\,q_{4}\dots$ etc., ou ce qui est la même chose $dq,$ $2\,dq,$ $3\,dq,$ $4\,dq\dots$ etc. Soit $q_{i}$ une valeur quelconque de la variable $q$, et $q_{j}$ une autre valeur qui est celle que l’on a prise pour $r$ ; on aura $r=j\,dq$ et $r=i\,dq$. On considérera ensuite le nombre infini $n$ comme exprimant combien l’unité de longueur contient de fois l’élément $dq,$ en sorte que l’on aura $n={\frac {1}{dq}}.$ En procédant à l’intégration, on reconnaîtra que la valeur de l’intégrale $dx\,\cos .qx\,\cos .rx$ est nulle, toutes les fois que $r$ et $q$ sont des grandeurs différentes ; mais cette même valeur de l’intégrale est ${\tfrac {1}{2}}n\pi ,$ lorsque $q=r.$ Il suit de là que l’intégration élimine dans le second