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CHAPITRE VIII.

$e^{-3{\frac {\varepsilon ^{2}}{a^{2}}}k}\;$ est égale à $\;e^{-{\frac {3h}{a}}}$ ;

ainsi les dernières températures que l’on observe, ont une expression de cette forme $\mathrm {A} e^{-3{\frac {h}{a}}t}.$ Si maintenant dans l’équation ${\frac {na.\cos .na}{\sin .na}}=1-{\frac {h}{\mathrm {K} }}a,$ on suppose que le second membre diffère très-peu de l’unité, on trouve ${\frac {h}{\mathrm {K} }}={\frac {n^{2}a}{3}},$ donc la fraction $e^{-kn^{2}}$ est $e^{-3{\frac {h}{a}}}.$

Ou conclut de là que si le rayon de la sphère est très-petit, les vitesses finales du refroidissement dans ce solide et dans le cube circonscrit sont égales, et qu’elles sont l’une et l’autre en raison inverse du rayon ; c’est-à-dire que si la température d’un cube dont le demi-côté est $a$, passe de la valeur A à la valeur B dans le temps $t$, une sphère dont le demi-diamètre est $a$, passera aussi dans le même temps de la température A à la température B. Si la quantité a venait à changer pour l’un et l’autre corps, et devenait $a'$ le temps nécessaire pour passer de A à B aurait une autre valeur $t'$, et le rapport des temps $t$ et $t'$ serait celui des demi-côtés $a$ et $a'$. Il n’en est pas de même lorsque le rayon $a$ est extrêmement grand : car $\varepsilon$ équivaut alors à ${\frac {1}{2}}\pi$, et les valeurs de $na$ sont les quantités $\pi$, $2\pi$, $3\pi$, $4\pi$, etc.

On trouvera donc facilement dans ce cas les valeurs des fractions

$e^{-3{\frac {\varepsilon ^{2}}{a^{2}}}k},\quad e^{-kn^{2}}\,;$ ces valeurs sont $e^{-{\frac {3k\pi ^{2}}{4a^{2}}}}$ et $e^{-{\frac {k\pi ^{2}}{a^{2}}}}$.