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CHAPITRE VIII.

DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR DANS UN CUBE
SOLIDE.

333.

Il nous reste encore à faire usage de l’équation

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{C.D}} \left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right)$

(a)

qui représente le mouvement de la chaleur dans un solide de forme cubique exposé à l’action de l’air, (section IV du chapitre II, page 119) On choisira en premier lieu pour $v$ la valeur très-simple $e^{-mt}\cos .nx\,\cos .py\,\cos .qz\,;$ et en substituant dans la proposée, on aura l’équation de condition $m=k(n^{2}+p^{2}+q^{2}),$ la lettre $k$ désignant le coëfficient $\mathrm {\frac {K}{C.D}} .$ Il suit de là que si l’on met au lieu de $n,$ $p,$ $q$ des quantités quelconques, et si l’on prend pour $m$ la quantité $k(n^{2}+p^{2}+q^{2}),$ la valeur précédente de $v$ satisfera toujours à l’équation aux différences partielles. On aura donc l’équation $v=e^{-k(n^{2}+p^{2}+q^{2})t}.\cos .nx\,\cos .py\,\cos .qz.$ L’état de la question exige aussi que si $x$ change de signe, et si $y$ et $z$ demeurent les mêmes, la fonction ne change point ; et que cela ait aussi lieu par rapport à $y$ et par rapport à $z$ : or la valeur de $v$ satisfait évidemment à ces conditions.