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THÉORIE DE LA CHALEUR.

quation générale, et l’on remplacera $n_{1}l,$ $n_{2}l,$ $n_{3}l,$ $n_{4}l,$ etc. par leurs valeurs ${\frac {\pi }{2}},$ ${\frac {3\pi }{2}},$ ${\frac {5\pi }{2}},$ ${\frac {7\pi }{2}},$ et l’on mettra aussi la fraction $\alpha$ au lieu de $e^{-{\frac {x}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}}.$ On trouve alors

${\begin{aligned}v\,\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2}&=1\left(\alpha ^{\sqrt {1^{2}+1^{2}}}-{\frac {1}{3}}\alpha ^{\sqrt {1^{2}+3^{2}}}+{\frac {1}{5}}\alpha ^{\sqrt {1^{2}+5^{2}}}-\mathrm {etc.} \right)\\&\!-{\frac {1}{3}}\left(\alpha ^{\sqrt {3^{2}+1^{2}}}-{\frac {1}{3}}\alpha ^{\sqrt {3^{2}+3^{2}}}+\mathrm {etc.} \right)\\&\!+{\frac {1}{5}}\left(\alpha ^{\sqrt {5^{2}+1^{2}}}-\mathrm {etc.} \right)\\&\!-{\frac {1}{7}}\left(\alpha ^{\sqrt {7^{2}+1^{2}}}-\mathrm {etc.} \right)\\\end{aligned}}$

On voit par ce résultat que la température des différents points de l’axe décroît rapidement à mesure qu’on s’éloigne de l’origine. Si donc on plaçait sur un support échauffé et maintenu à une température permanente, un prisme d’une hauteur infinie, ayant pour base un carré dont le demi-côté $l$ est très-grand ; la chaleur se propagerait dans l’intérieur du prisme, et se dissiperait par la surface dans l’air environnant qu’on suppose à la température 0. Lorsque le solide serait parvenu à un état fixe, les points de l’axe auraient des températures très-inégales, et à une hauteur équivalente à la moitié du côté de la base, la température du point le plus échauffé serait moindre que la cinquième partie de la température de la base.