Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/440

408

THÉORIE DE LA CHALEUR.

de la chaleur qui sort de la surface supérieure du prisme ; et prenant quatre fois le résultat, on aura la chaleur perdue par les surfaces supérieure et inférieure.

Si l’on se sert maintenant de l’expression $\textstyle h\int dx\int dz.v$, que l’on donne à $y$ dans $v$ sa valeur $l$, et que l’on intègre une fois depuis $z=0$ jusqu’à $z=l$, et une seconde fois depuis $x=0$ jusqu’à $x={\tfrac {1}{0}}$ ; on aura la quatrième partie de la chaleur qui s’échappe par les surfaces latérales.

L’intégrale $\textstyle h\int dx\int dy.v$, étant prise entre les limites désignées donne

${\frac {ha}{m{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}}\cdot \sin .ml\,\cos .nl\,e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$

et l’intégrale $\textstyle h\int dx\int dz.v$ donne

${\frac {ha}{n{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}}\cdot \cos .ml\,\sin .nl\,e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}$

Donc la quantité de chaleur que le prisme perd à sa surface, dans toute la partie située à la droite de la section dont l’abscisse est $x$, se compose de tous les termes analogues à celui-ci

${\frac {4\,h.a}{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}\,e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}\left\{{\frac {1}{m}}\sin .ml\,\cos .nl+{\frac {1}{n}}\cos .ml\,\sin .nl\right\}.$

D’un autre côté la quantité de chaleur qui pénètre pendant le même temps à travers la section dont l’abscisse est $x$, se compose des termes analogues à celui-ci :

${\frac {4\,k\,a\,{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}{m.n}}\,e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}.\sin .ml.\sin .nl\;;$

il est donc nécessaire que l’on ait l’équation