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CHAPITRE VII.

(E), ou $v=\psi (x,y,z)$. Il faut remarquer que cette conséquence dépend de la condition relative à l’état initial ; on la déduira toutes les fois que la chaleur initiale contenue dans le prisme est tellement distribuée, qu’elle s’évanouirait entièrement, si l’on retenait l’extrémité A la température 0.

328.

Nous ajouterons diverses remarques à la solution précédente ; 1^o il est facile de connaître la nature de l’équation $\varepsilon \,\mathrm {tang.} \varepsilon ={\tfrac {hl}{k}}$, il suffit de supposer (voyez fig. 15) que l’on ait construit la courbe $u=\varepsilon \,\mathrm {tang.} \varepsilon$, l’arc $\varepsilon$ étant pris pour abscisse, et $u$ pour ordonnée. Cette ligne est composée de branches asymptotiques. Les abscisses qui correspondent aux asymptotes, sont ${\tfrac {1}{2}}\pi ,$ ${\tfrac {3}{2}}\pi ,$ ${\tfrac {5}{2}}\pi ,$ ${\tfrac {7}{2}}\pi$ etc. : celles qui correspondent aux points d’intersection sont : $1\,\pi ,$ $2\,\pi ,$ $3\,\pi ,$ etc. Si maintenant on élève à l’origine une ordonnée égale à la quantité connue ${\tfrac {hl}{k}}$, et que par son extrémité on mené une parallèle à l’axe des abscisses, les points d’intersection donneront les racines de l’équation proposée $\varepsilon \,\mathrm {tang.} \varepsilon ={\tfrac {hl}{k}}\cdot$ La construction indique les limites entre lesquelles chaque racine est placée. Nous ne nous arrêterons point aux procédés de calcul qu’il faut employer pour déterminer les valeurs des racines. Les recherches de ce genre ne présentent aucune difficulté.

329.

2^o On conclut facilement de l’équation générale (E), que plus la valeur de $x$ devient grande, plus le terme de la valeur de $v$, dans lequel se trouve la fraction $e^{-x{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{1}^{2}}}},$