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CHAPITRE VII.

les arcs $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$, $\varepsilon _{3}$, $\varepsilon _{4}$ etc. sont les racines de l’équation déterminée $\varepsilon \,\mathrm {tang.} \varepsilon ={\tfrac {hl}{k}}\cdot$

326.

La solution exprimée par l’équation précédente E est la seule qui convienne à la question ; elle représente l’intégrale générale de l’équation $\textstyle {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}=0,$ dans laquelle on aurait déterminé les fonctions arbitraires d’après les conditions données. Il est facile de reconnaître qu’il ne peut y avoir aucune solution différente. En effet, désignons par $\psi (x,y,z)$ la valeur de $v$ déduite de l’équation (E), il est évident que si l’on donnait au solide des températures initiales exprimées par $\psi (x,y,z)$, il ne pourrait survenir aucun changement dans le système des températures, pourvu que la section à l’origine fût retenue à la température constante 1 : car l’équation $\textstyle {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}=0,$ étant satisfaite, la variation instantanée de la température est nécessairement nulle. Il n’en sera pas de même, si après avoir donné à chaque point intérieur du solide dont les coordonnées sont $x,y,z$ la température initiale $\psi (x,y,z)$, on donnait à tous les points de la section à l’origine la température constante 0. On voit clairement, et sans aucun calcul, que dans ce dernier cas l’état du solide changerait continuellement, et que la chaleur primitive qu’il renferme se dissiperait peu-à-peu dans l’air, et dans la masse froide qui maintient l’extrémité à la température 0. Ce résultat dépend de la forme de la fonction $\psi (x,y,z)$, qui devient nulle lorsque $x$ a une valeur infinie comme la question le suppose.

Un effet semblable aurait lieu si les températures initiales,