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THÉORIE DE LA CHALEUR.

$x=0$, quelles que soient d’ailleurs les valeurs de $y$ et de $z$, comprises entre 0 et $l$ ; donc elle résoudra dans toute son étendue la question proposée.

On est parvenu ainsi à l’équation

${\frac {1}{4}}={\frac {\sin .n_{1}l\,\cos .n_{1}y}{2n_{1}l+\sin .2n_{1}l}}+{\frac {\sin .n_{2}l.\cos .n_{2}y}{2n_{2}l+\sin .2n_{2}l}}+{\frac {\sin .n_{3}l.\cos .n_{3}y}{2n_{3}l+\sin .2n_{3}l}}+\mathrm {etc.}$

ou désignant par $\varepsilon _{1}\,\varepsilon _{2}\,\varepsilon _{3}$ etc. les arcs $n_{1}l$, $n_{2}l$, $n_{3}l$, etc.

${\frac {1}{4}}={\frac {\sin .\varepsilon _{1}\,\cos .{\frac {\varepsilon _{1}y}{l}}y}{2\varepsilon _{1}+\sin .2\varepsilon _{1}l}}+{\frac {\sin .\varepsilon _{2}\,\cos .{\frac {\varepsilon _{2}y}{l}}y}{2\varepsilon _{2}+\sin .2\varepsilon _{2}l}}+{\frac {\sin .\varepsilon _{3}\,\cos .{\frac {\varepsilon _{3}y}{l}}y}{2\varepsilon _{3}+\sin .2\varepsilon _{3}l}}+\mathrm {etc.} \,,$

équation qui a lieu pour toutes les valeurs de $y$ comprises entre 0 et $l$, et par conséquent pour toutes celles qui sont comprises entre 0 et $-l$.

En substituant les valeurs connues de $a_{1}\,b_{1}\,a_{2}\,b_{2}\,a_{3}\,b_{3}$ etc. dans la valeur générale de $v$, on aura l’équation suivante, qui contient la solution complète de la question proposée,

${\begin{aligned}{\frac {v}{4.4}}&={\frac {\sin .n_{1}l\,\cos .n_{1}z}{2n_{1}l+\sin .2n_{1}l}}\left({\frac {\sin .n_{1}l\,\cos .n_{1}y}{2n_{1}l+\sin .2n_{1}l}}e^{-x{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{1}^{2}}}}+\mathrm {etc.} \right)\\&+{\frac {\sin .n_{2}l\,\cos .n_{2}z}{2n_{2}l+\sin .2n_{2}l}}\left({\frac {\sin .n_{1}l\,\cos .n_{1}y}{2n_{1}l+\sin .2n_{1}l}}e^{-x{\sqrt {n_{2}^{2}+n_{1}^{2}}}}+\mathrm {etc.} \right)\\&+{\frac {\sin .n_{3}l\,\cos .n_{3}z}{2n_{3}l+\sin .2n_{3}l}}\left({\frac {\sin .n_{1}l\,\cos .n_{1}y}{2n_{1}l+\sin .2n_{1}l}}e^{-x{\sqrt {n_{3}^{2}+n_{1}^{2}}}}+\mathrm {etc.} \right)\\&+\mathrm {etc.} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ({\boldsymbol {\mathrm {E} }})\\\end{aligned}}$

Les quantités désignées par $n_{1},\,n_{2},\,n_{3},$ etc. sont en nombre infini, et respectivement égales aux quantités

${\frac {\varepsilon _{1}}{l}},\;\;{\frac {\varepsilon _{2}}{l}},\;\;{\frac {\varepsilon _{3}}{l}},\;\;{\frac {\varepsilon _{4}}{l}},\;\;\mathrm {etc.}$