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THÉORIE DE LA CHALEUR.
,
qui se rapporte à l’état initial, sera remplie.
Nous pouvons maintenant donner la solution complète de la question proposée ; elle est exprimée par l’équation
suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {v\mathrm {X} ^{2}}{2}}={\frac {\displaystyle \int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(x\,\varphi x.u_{1}\,dx\right)}{\displaystyle \mathrm {U} _{1}^{2}\left(1+{\frac {h^{2}\,\mathrm {X} }{4^{2}k^{2}\theta _{1}}}\right)}}u_{1}.&e^{\displaystyle -{\frac {2^{2}kt}{\mathrm {X} ^{2}}}\theta _{1}}+{\frac {\displaystyle \int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(x\,\varphi x.u_{2}\,dx\right)}{\displaystyle \mathrm {U} _{2}^{2}\left(1+{\frac {h^{2}\,\mathrm {X} }{4^{2}k^{2}\theta _{2}}}\right)}}u_{2}.e^{\displaystyle -{\frac {2^{2}kt}{\mathrm {X} ^{2}}}\theta _{2}}\\&+{\frac {\displaystyle \int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(x\,\varphi x.u_{3}\,dx\right)}{\displaystyle \mathrm {U} _{3}^{2}\left(1+{\frac {h^{2}\,\mathrm {X} }{4^{2}k^{2}\theta _{3}}}\right)}}u_{3}.e^{\displaystyle -{\frac {2^{2}kt}{\mathrm {X} ^{2}}}\theta _{3}}+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284d0663110588ad492a7fbfe24013f61e9e1e9d)
La fonction de
qui est exprimée par
dans l’équation précédente a pour expression
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \cos .\left({\frac {2x}{\mathrm {X} }}{\sqrt {\theta _{i}}}.\sin .q\right)dq\;;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b9b7d5d9055eb3788cdb5f9ff233a0745f73d8)
toutes les intégrales par rapport à
doivent être prises depuis
jusqu’à
, et pour trouver la fonction
on
doit intégrer depuis
jusqu’à
est la valeur
initiale de la température, prise dans l’intérieur du cylindre
à la distance
de l’axe, et cette fonction est arbitraire, les
quantités
etc. sont les racines réelles et positives
de l’équation