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THÉORIE DE LA CHALEUR.

membre s’évanouit, il suffit de prendre pour $\sigma$ la quantité $xu$ ou $\textstyle x\psi (x{\sqrt {\frac {m}{k}}})$. Il faut excepter le seul cas où $n$ est égal à $m$, alors la valeur de $\textstyle \int \sigma \,u\,dx$ tirée de l’équation ($f$) se réduit à ${\tfrac {0}{0}}$, et on la détermine par les règles connues.

318.

Soit $\textstyle {\sqrt {\frac {m}{k}}}=\mu$ et $\textstyle {\sqrt {\frac {n}{k}}}=\nu$ on aura

$\int \left(x\,\psi (x\mu )\,\psi (x\nu )\,dx\right)={\frac {\mu \,\mathrm {X} \,\psi '(\mu \mathrm {X} )\,\psi (\nu \mathrm {X} )-\nu \,\mathrm {X} \,\psi '(\nu \mathrm {X} )\,\psi (\mu \mathrm {X} )}{\nu ^{2}-\mu ^{2}}}$

le second membre étant différentié au numérateur et au dénominateur par rapport à $\nu$ donnera en faisant

$\mu =\nu \,,\;\;\;{\frac {\mu \,\mathrm {X} ^{2}\,\psi '^{2}-\mathrm {X} \,\psi \,\psi '-\mu \,\mathrm {X} ^{2}\,\psi \,\psi ''}{2\mu }}\cdot$

On a d’un autre côté l’équation

$\mu ^{2}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0,\quad \mathrm {ou} \quad \mu ^{2}\psi +{\frac {\mu }{x}}\psi '+\mu ^{2}\psi ''=0,$

et celle-ci,

${\frac {hx}{2k}}\,\psi +\mu \,x\,\psi '=0\quad \mathrm {et} \;\mathrm {faisant} \quad \lambda ={\frac {hx}{2k}},\quad \lambda \,\psi +\mu \,\psi '=0\;;$

on pourra donc éliminer dans l’intégrale qu’il s’agit d’évaluer les quantités $\psi '$ et $\psi ''$, ce qui donnera

$\left(\mu ^{2}-{\frac {\lambda }{x}}\right)\psi '+\mu ^{2}\psi ''=0\;;$

on trouvera ainsi pour la valeur de l’intégrale cherchée