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CHAPITRE VI.

valeur que prend la fonction de $x$, lorsqu’on donne à cette variable $x$ sa dernière valeur $\mathrm {X}$.

On aura donc, en supposant $x=0$ dans les deux équations précédentes

$0=\mathrm {C} +\left(u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\alpha }\;\;\mathrm {et} \;\;0=\mathrm {D} +\left({\frac {du}{dx}}\cdot \sigma -u\cdot {\frac {d\sigma }{dx}}\right)_{\alpha }$

on détermine ainsi les constantes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {D}$. Faisant ensuite $x=\mathrm {X}$ dans ces mêmes équations, et supposant que l’intégrale est prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X}$, on aura

${\begin{aligned}&\int \left({\frac {\sigma }{x}}\cdot {\frac {du}{dx}}\cdot dx\right)=\left(u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\omega }-\left(u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\alpha }-\int u\,d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)\\\mathrm {et} &\int \left(\sigma {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}dx\right)=\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}\right)_{\omega }-\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}\right)_{\alpha }+\int \left(u{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}{dx}\right)\\\end{aligned}}$

on obtient ainsi l’équation

${\begin{aligned}-{\frac {m}{k}}\int (\sigma .u\,dx)=\int \left\{u{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-u\cdot {\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}\right\}dx&+\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\omega }\\&-\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\alpha }.\\\end{aligned}}$

317.

Si la quantité ${\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}$ qui multiplie $u$ sous le signe d’intégration dans le second membre était égale au produit de $\sigma$ par un coëfficient constant, les termes

$\int u\cdot \left\{{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}\right\}\cdot dx\;\;\mathrm {et} \;\;\int \sigma .u\,dx$