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CHAPITRE VI.

dans laquelle $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ sont les différentes valeurs que prend la fonction $u$ ou

$1-{\frac {m}{k}}{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{k^{2}}}{\frac {x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{k^{3}}}{\frac {x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.} ,$

lorsqu’on met successivement au lieu de ${\tfrac {m}{k}}$ les valeurs $g_{1}$, $g_{2}$, $g_{3}$, etc. En faisant $t=0$, on a l’équation

$\mathrm {V} =a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\mathrm {etc.} ,$

dans laquelle $\mathrm {V}$ est une fonction donnée de $x$. Soit $\varphi x$ cette fonction, et représentons la fonction $u_{i}$. dont l’indice est $i$, par $\psi (x{\sqrt {g_{i}}})$. On aura

$\varphi x=a_{1}\psi (x{\sqrt {g_{1}}})+a_{2}\psi (x{\sqrt {g_{2}}})+a_{3}\psi (x{\sqrt {g_{3}}})+\mathrm {etc.}$

Pour déterminer le premier coëfficient, on multipliera chacun des membres de l’équation par $\sigma _{1}\,dx$, $\sigma _{1}$ étant une fonction de $x$, et l’on intégrera depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X}$. On déterminera cette fonction $\sigma _{1}$ en sorte qu’après les intégrations le second membre se réduise au premier terme seulement, où se trouve le coëfficient $a_{1}$, toutes les autres intégrales ayant une valeur nulle. Pour déterminer le second coëfficient $a_{2}$, on multipliera pareillement les deux termes de l’équation $\varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+$ etc. par un autre facteur $\sigma _{2}\,dx$, et l’on intégrera depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X}$. Le facteur $\sigma _{2}$ devra être tel que toutes les intégrales du second membre s’évanouissent, excepté une seule, savoir, celle qui est affectée du coëfficient $a_{2}$. En général, on emploie une suite de fonctions de $x$ désignées par $\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}\,\sigma _{4}$ etc. qui correspondent aux fonctions $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ etc. ; chacun