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THÉORIE DE LA CHALEUR.

Ainsi la fonction $-{\frac {\theta f'\theta }{f\theta }}$ qui entre dans l’équation déterminée a pour valeur la fraction continuée à l’infini

${\frac {\theta }{1-\displaystyle {\frac {\theta }{2-\displaystyle {\frac {\theta }{3-\displaystyle {\frac {\theta }{4-\displaystyle {\frac {\theta }{5-\mathrm {etc.} }}}}}}}}}}$

314.

Nous allons maintenant rappeler les résultats auxquels nous sommes parvenus jusqu’ici.

Le rayon variable de la couche cylindrique étant désigné par $x$, et la température de cette couche étant $v$ qui est fonction de $x$ et du temps $t$, cette fonction cherchée $v$ doit satisfaire à l’équation aux différences partielles

${\frac {dv}{dt}}=k\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}\cdot {\frac {dv}{dx}}\right),$

on peut prendre pour $v$ la valeur suivante

$v=e^{-mt}.u$ ;

$u$ est une fonction de $x$ qui satisfait à l’équation

${\frac {m}{k}}\,u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}\cdot {\frac {du}{dx}}=0.$

Si l’on fait $\theta ={\frac {m}{k}}\cdot {\frac {x^{2}}{2^{2}}}$ et que l’on considère $u$ comme une