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THÉORIE DE LA CHALEUR.

Supposons donc que l’on ait une fonction $\varphi z$ qui soit ainsi développée $\varphi z=\varphi +z\varphi '+{\frac {z^{2}}{2}}\varphi ''+{\frac {z^{3}}{2.3}}\varphi '''+$ etc., on aura

${\begin{aligned}\varphi (t\sin .u)=\varphi +t\varphi '.\sin .u+{\frac {t^{2}}{2}}\varphi ''.\sin ^{2}u+{\frac {t^{3}}{2.3}}\varphi '''.\sin ^{3}u+\mathrm {etc.} \\\mathrm {et} \;{\frac {1}{\pi }}\int du\,\varphi (t\sin .u)=\varphi +t\varphi '\mathrm {S} _{1}+{\frac {t^{2}}{2}}\varphi ''.\mathrm {S} _{2}+{\frac {t^{3}}{2.3}}\varphi '''.\mathrm {S} _{3}+\mathrm {etc.} \;({\boldsymbol {e}})\\\end{aligned}}$

Or, il est facile de voir que $\mathrm {S_{1}\,S_{3}\,S_{5}\,S} _{7}$ etc., ont des valeurs nulles. À l’égard de $\mathrm {S_{2}\,S_{4}\,S_{6}\,S} _{8}\dots$ leurs valeurs sont les quantités que nous avons désignées précédemment par $\mathrm {A_{2}\,A_{4}\,A} _{6}\dots$ etc. C’est pourquoi, en substituant ces valeurs dans l’équation $(e),$ on aura généralement, et quelle que soit la fonction $\varphi$

${\frac {1}{\pi }}\int \varphi (t\sin .u)\,du=\varphi +{\frac {t^{2}}{2^{2}}}\varphi ''+{\frac {t^{4}}{2^{2}.4^{2}}}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+{\frac {t^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}+\mathrm {etc.} ,$

dans le cas dont il s’agit, la fonction $\varphi z$ représente $\cos .z,$ et l’on a $\varphi =1,$ $\varphi ''=-1,$ $\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=1,$ $\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=-1,$ ainsi de suite.

312.

Pour connaître entièrement la nature de la fonction $f\theta ,$ et celle de l’équation qui donne les valeurs de $g,$ il faudrait considérer la figure de la ligne qui a pour équation

$y=1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+\mathrm {etc.}$

et qui forme avec l’axe des abscisses des aires alternativement positives ou négatives qui se détruisent réciproquement ; on pourrait aussi rendre plus générales les remarques précédentes sur l’expression des valeurs des suites en intégrales définies. Lorsqu’une fonction d’une variable $x$ est dé-