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CHAPITRE VI.

se vérifie d’elle-même. En effet, on a

$\int \cos .(\theta \sin .u)\,du=\int du\left(1-{\frac {\theta ^{2}\sin .^{2}u}{2}}+{\frac {\theta ^{4}\sin .^{4}u}{2.3.4}}-{\frac {\theta ^{6}\sin .^{6}u}{2.3.4.5.6}}+\mathrm {etc.} \right)$

et intégrant depuis $u=0$ jusqu’à $u=\pi$, en désignant par $\mathrm {S} _{2}\,\mathrm {S} _{4}\,\mathrm {S} _{6}$ etc. les intégrales définies

$\int \sin .^{2}u\,du,\;\;\int \sin .^{4}u\,du,\;\;\int \sin .^{6}u\,du,\;\;\mathrm {etc.} ,$

on aura

${\frac {1}{\pi }}\int \cos .(\theta \sin .u)du=1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}.\mathrm {S} _{2}+{\frac {\theta ^{4}}{2.3.4}}.\mathrm {S} _{4}-{\frac {\theta ^{6}}{2.3.4.5.6}}.\mathrm {S} _{6}+\mathrm {etc.}$

il reste à déterminer $\mathrm {S} _{2}\,\mathrm {S} _{4}\,\mathrm {S} _{6}$ etc. Le terme $\sin .^{n}u$, $n$ étant un nombre pair, peut être développé ainsi :

$\sin .^{n}u=\mathrm {A} _{n}+\mathrm {B} _{n}\cos .2u+\mathrm {C} _{n}\cos .4u+\mathrm {etc.}$

en multipliant par $du$ et intégrant entre les limites $u=0$ et $u=\pi$, on aura seulement $\int (du\,\sin .^{n}u)=\mathrm {A} _{n}\pi$, les autres termes s’évanouissent. On a, d’après la formule connue pour le développement des puissances entières du sinus,

$\mathrm {A} _{2}={\frac {1}{2^{2}}}\!\cdot \!{\frac {2}{1}},\;\mathrm {A} _{4}={\frac {1}{2^{4}}}\!\cdot \!{\frac {3.4}{1.2}},\;\mathrm {A} _{6}={\frac {1}{2^{6}}}\!\cdot \!{\frac {4.5.6}{1.2.3}},\;\mathrm {A} _{8}={\frac {1}{2^{8}}}\!\cdot \!{\frac {5.6.7.8}{1.2.3.4}}\;\mathrm {etc.}$

en substituant ces valeurs de $\mathrm {S_{2}\,S_{4}\,S_{6}\,S_{8}}$ etc., on trouve

${\frac {1}{\pi }}\int \cos .(\theta \sin .u)\,du=1-{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {\theta ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.}$

On peut rendre ce résultat plus général en prenant, au lieu de $\cos .(t\sin .u),$ une fonction quelconque $\varphi$ de $t\sin .u.$