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THÉORIE DE LA CHALEUR.
la valeur de la série
est celle
de l’intégrale définie
On trouverait de
la même manière par la comparaison des deux équations les
valeurs des coëfficients suivants
,
etc. ; on a indiqué ces
résultats, parce qu’ils sont utiles dans d’autres recherches
qui dépendent de la même théorie. Il suit de là que la valeur
particulière de
qui satisfait à l’équation
![{\displaystyle g\,u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0\;\;\mathrm {est} \;\;{\frac {1}{\pi }}\int \cos .(x{\sqrt {g}}.\sin .r)\,dr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa30ffeddba44d92b5f6f6c68d3991eccae980c)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
. En désignant
par
cette valeur de
, et faisant
, on trouvera
et l’on aura pour l’intégrale complète
de l’équation ![{\displaystyle g\,u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33bb529f47d18e35861576c22df305c2033065e6)
![{\displaystyle u=\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \int {\frac {dx}{x\left(\int .\cos .(x{\sqrt {g}}.\sin .r)dr\right)^{2}}}\right)\int \cos .(x{\sqrt {g}}.\sin .r)dr,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfec42416ab48ae5e391c39b69fc66f5bd9c4085)
et
sont des constantes arbitraires. Si l’on suppose
on aura, comme précédemment,
Nous ajouterons les remarques suivantes relatives à cette
dernière expression.
311.
L’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int \cos .(\theta \sin .u)\,du=1-{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {\theta ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de39898d9d1ebb8377be8a03ff13770fb1eb6a1c)