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THÉORIE DE LA CHALEUR.

$gu+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0.$

On fait $g{\frac {x^{2}}{2^{2}}}=\theta$ et que l’on cherche la nouvelle équation en $u$ et $\theta$ en regardant $u$ comme une fonction de $\theta$, on trouvera

$u+{\frac {du}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=0,$

d’où l’on conclut

${\begin{aligned}u=1-\theta &+{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}3^{2}4^{2}}}+\mathrm {etc.} ,\\\mathrm {ou} \;\;u&=1-{\frac {gx^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}x^{4}}{2^{2}4^{2}}}+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

Il est facile d’exprimer la somme de cette série. Pour obtenir ce résultat, on développera comme il suit la fonction $\cos .(\alpha \sin .x)$ en cosinus d’arcs multiples. On aura, par les transformations connues,

$2\cos .(\alpha \sin .x)=e^{{\frac {1}{2}}\alpha e^{x{\sqrt {-1}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\alpha e^{-x{\sqrt {-1}}}}+e^{-{\frac {1}{2}}\alpha e^{x{\sqrt {-1}}}}e^{{\frac {1}{2}}\alpha e^{-x{\sqrt {-1}}}}$

et désignant $e^{x{\sqrt {-1}}}$ par $\omega$

$2\cos .(\alpha \sin .x)=e^{\frac {\alpha \omega }{2}}.e^{\frac {-\alpha \omega ^{-1}}{2}}+e^{\frac {-\alpha \omega }{2}}.e^{\frac {\alpha \omega ^{-1}}{2}}$

En développant le second membre selon les puissances de $\omega$, on trouvera que le terme qui ne contient point $\omega$ dans le développement de $\cos .(\alpha \sin .x)$ est

$2\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\alpha ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {\alpha ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {\alpha ^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}-\mathrm {etc.} \right)$