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THÉORIE DE LA CHALEUR.

même signe. Donc on est assuré que l’équation $y=0$ a toutes ses racines réelles et positives.

309.

Il suit de là que l’équation $f'\theta =0$ ou $y'=0$ a aussi toutes ses racines réelles ; ce qui est une conséquence connue des principes de l’algèbre. Examinons maintenant quelles sont les valeurs successives que reçoit le terme $\theta {\frac {f'\theta }{f\theta }}$, ou $\theta .{\frac {y'}{y}}$ lorsqu’on donne à $\theta$ des valeurs continuellement croissantes, depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta ={\tfrac {1}{0}}$. Si une valeur de $\theta$ rend $y'$ nulle, la quantité $\theta {\frac {y'}{y}}$ devient nulle aussi ; elle devient infinie lorsque $\theta$ rend $y$ nulle. Or il suit de la théorie des équations que, dans le cas dont il s’agit, toute racine de $y'=0$ est placée entre deux racines consécutives de $y=0$, et réciproquement. Donc, en désignant par $\theta _{1}$ et $\theta _{3}$ deux racines consécutives de l’équation $y'=0$, et par $\theta _{2}$ la racine de l’équation $y=0$ qui est placée entre $\theta _{1}$ et $\theta _{3}$, toute valeur de $\theta$ comprise entre $\theta _{1}$ et $\theta _{2}$ donnera à $y$ un signe différent de celui qui recevrait cette fonction $y$, si $\theta$ avait une valeur comprise entre $\theta _{2}$ et $\theta _{3}$. Ainsi la quantité $\theta {\frac {y'}{y}}$ est nulle lorsque $\theta =\theta _{1}$ ; elle est infinie lorsque $\theta =\theta _{2}$, et nulle lorsque $\theta =\theta _{3}$. Il est donc nécessaire que cette quantité $\theta {\frac {y'}{y}}$ prenne toutes les valeurs possibles, depuis $\theta$ jusqu’à l’infini, dans l’intervalle de $\theta _{1}$ à $\theta _{2}$, et prenne aussi toutes les valeurs possibles de signe opposé, depuis l’infini jusqu’à zéro, dans l’intervalle de $\theta _{2}$ à $\theta _{3}$. Donc l’équation $\mathrm {A} =\theta \cdot {\frac {y'}{y}}$ a nécessairement une racine réelle entre $\theta _{1}$ et $\theta _{3}$, et comme l’équation