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THÉORIE DE LA CHALEUR.
même signe. Donc on est assuré que l’équation a toutes
ses racines réelles et positives.
309.
Il suit de là que l’équation ou a aussi toutes
ses racines réelles ; ce qui est une conséquence connue des
principes de l’algèbre. Examinons maintenant quelles sont
les valeurs successives que reçoit le terme , ou
lorsqu’on donne à des valeurs continuellement croissantes,
depuis jusqu’à . Si une valeur de rend nulle,
la quantité devient nulle aussi ; elle devient infinie lorsque
rend nulle. Or il suit de la théorie des équations
que, dans le cas dont il s’agit, toute racine de est
placée entre deux racines consécutives de , et réciproquement.
Donc, en désignant par et deux racines consécutives
de l’équation , et par la racine de l’équation
qui est placée entre et , toute valeur de
comprise entre et donnera à un signe différent de
celui qui recevrait cette fonction , si avait une valeur
comprise entre et . Ainsi la quantité est nulle lorsque
; elle est infinie lorsque , et nulle lorsque
. Il est donc nécessaire que cette quantité prenne
toutes les valeurs possibles, depuis jusqu’à l’infini, dans
l’intervalle de à , et prenne aussi toutes les valeurs
possibles de signe opposé, depuis l’infini jusqu’à zéro, dans
l’intervalle de à . Donc l’équation a nécessairement
une racine réelle entre et , et comme l’équation