Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/384

352

THÉORIE DE LA CHALEUR.

on trouvera donc $a={\frac {2}{n}}\cdot {\frac {h\mathrm {X} }{n\mathrm {X} \mathrm {cosec} .n\mathrm {X} -\cos .n\mathrm {X} }}.$

Il est aisé maintenant de former la valeur générale ; elle est donnée par l’équation

${\frac {vx}{2\mathrm {X} h}}={\frac {e^{-kn_{1}^{2}t}\sin .n_{1}x}{n_{1}(n_{1}\mathrm {X} \mathrm {cosec} .n_{1}\mathrm {X} -\cos .n_{1}\mathrm {X} )}}+{\frac {e^{-kn_{2}^{2}t}\sin .n_{2}x}{n_{2}(n_{2}\mathrm {X} \mathrm {cosec} .n_{2}\mathrm {X} -\cos .n_{2}\mathrm {X} )}}+\!\mathrm {etc.}$

En désignant par $\varepsilon _{1}\,\varepsilon _{2}\,\varepsilon _{3}\,\varepsilon _{4}$, etc. les racines de l’équation $\textstyle {\frac {\varepsilon }{\mathrm {tang} .\varepsilon }}=1-h\mathrm {X}$, et les supposant rangées par ordre en commençant par la plus petite ; remplaçant $n_{1}\mathrm {X}$, $n_{2}\mathrm {X}$, $n_{3}\mathrm {X}$, etc. par $\varepsilon _{1}$ $\varepsilon _{2}$ $\varepsilon _{3}$, etc., et mettant au lieu de $\mathrm {K}$ et $h$ leurs valeurs $\textstyle {\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}$ et $\textstyle {\frac {h}{\mathrm {K} }}$, on aura pour exprimer les variations des températures pendant le refroidissement d’une sphère solide qui avait été uniformément échauffée, l’équation

$v={\frac {2h}{\mathrm {K} }}\mathrm {X} \left\{{\frac {\sin .\varepsilon _{1}{\frac {x}{\mathrm {X} }}}{\varepsilon _{1}{\frac {x}{\mathrm {X} }}}}{\frac {e^{-{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}{\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}}{\varepsilon _{1}\mathrm {cosec.} \varepsilon _{1}-\cos .\varepsilon _{1}}}+{\frac {\sin .\varepsilon _{2}{\frac {x}{\mathrm {X} }}}{\varepsilon _{2}{\frac {x}{\mathrm {X} }}}}{\frac {e^{-{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}{\frac {\varepsilon _{2}^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}}{\varepsilon _{2}\mathrm {cosec.} \varepsilon _{2}-\cos .\varepsilon _{2}}}+\mathrm {etc.} \right\}$

SECTION II.

Remarques diverses sur cette solution.

294.

Nous exposerons quelques-unes des conséquences que l’on peut déduire de la solution précédente. Si l’on suppose que le coëfficient $h$ qui mesure la facilité avec laquelle la chaleur passe dans l’air, a une très-petite valeur, ou que le