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CHAPITRE IV.

intégrer cette dernière équation, et l’on prendra ensuite $v={\frac {y}{x}}.$ On cherchera en premier lieu quelles sont les valeurs les plus simples que l’on puisse attribuer à $y,$ ensuite on en formera une valeur générale qui satisfera en même temps à l’équation différentielle, à celle de la surface et à l’état initial. Il sera facile de reconnaître que lorsque ces trois conditions sont remplies, la solution est complète, et que l’on ne pourrait en trouver aucune autre.

284.

Soit $y=e^{mt}u,$ $u$ étant une fonction de $x,$ on aura $mu=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.$ On voit d’abord que la valeur de $t$ devenant infinie, celle de $v$ doit être nulle dans tous les points ; puisque le corps est entièrement refroidi. On ne peut donc prendre pour $m$ qu’une quantité négative. Or $\mathrm {K}$ a une valeur numérique positive ; on en conclut que la valeur de $u$ dépend des arcs de cercle, ce qui résulte de la nature connue de l’équation $mu=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.$ Soit $u=\mathrm {A} \cos .nx+\mathrm {B} \sin .nx\,;$ on aura cette condition $m=-\mathrm {K} n^{2}.$ Ainsi l’on peut exprimer une valeur particulière de $v$ par l’équation $v={\frac {e^{-kn^{2}t}}{x}}\left(\mathrm {A} \cos .nx+\mathrm {B} \sin .nx\right),$ $n$ est un nombre positif quelconque, et $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont des constantes. On remarquera d’abord que la constante $\mathrm {A}$ doit être nulle ; car la valeur de $v$ qui exprime la température du centre, lorsqu’on fait $x=0$ ne peut pas être infinie, donc le terme $\mathrm {A} \cos .x$ doit être omis.

De plus le nombre $n$ ne peut pas être pris arbitrairement.