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CHAPITRE V.

DE LA PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS UNE
SPHÈRE SOLIDE.

SECTION PREMIÈRE.

Solution générale.

283.

La question de la propagation de la chaleur a été exposée dans le chapitre II, section 2, article 117 (page 111) ; elle consiste à intégrer l’équation $\textstyle {\frac {dv}{dt}}=\mathrm {K} \left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {dv}{dx}}\right)$ en sorte que l’intégrale satisfasse, lorsque $x=\mathrm {X} ,$ à la condition $\textstyle {\frac {dv}{dx}}+hv=0,$ $\mathrm {K}$ désigne le rapport $\textstyle {\frac {K}{\mathrm {CD} }}$ et $h$ désigne le rapport ${\tfrac {h}{K}}$ des deux conducibilités ; $v$ est la température que l’on observerait après le temps écoulé $t$ dans une couche sphérique dont le rayon est $x$ ; $\mathrm {X}$ est le rayon de la sphère ; $v$ est une fonction de $x$ et $t$ qui équivaut à $\mathrm {F} x$ lorsqu’on suppose $t=0.$ La fonction $\mathrm {F} x$ est donnée, elle représente l’état initial et arbitraire du solide.

Si l’on fait $y=vx,\;y$ étant une nouvelle indéterminée, on aura, après les substitutions, $\textstyle {\frac {dy}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ : ainsi il faut