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CHAPITRE IV.

manière les valeurs $v_{3}\,v_{4}\,v_{5}\dots \,v_{n}$ de la température d’un point quelconque du solide au commencement de chaque instant. Or la fonction $\varphi (x,t)$ satisfait à l’état initial, puisque l’on a $\varphi (x,0)=fx.$ De plus elle satisfait aussi à l’équation différentielle ; par conséquent étant différentiée elle donnerait pour ${\frac {dv_{1}}{dt}},$ ${\frac {dv_{2}}{dt}},$ ${\frac {dv_{3}}{dt}},$ etc. les mêmes valeurs que celles qui résulteraient de l’application successive de cette équation différentielle $(a).$ Donc si dans la fonction $\varphi (x,t)$ on donne successivement à $t$ les valeurs $0,$ $\omega ,$ $2\omega ,$ $3\omega ,$ $4\omega ,$ etc. $\omega$ désignant l’élément du temps ; on trouvera les mêmes valeurs $v_{1},$ $v_{2},$ $v_{3},$ $v_{4},$ etc. que l’on aurait déduites de l’état initial et de l’application continuelle de l’équation ${\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}.$ Donc toute fonction $\psi (x,t)$ qui satisfait à l’équation différentielle et à l’état initial se confond nécessairement avec la fonction $\varphi (x,t)\,:$ car ces fonctions donneront l’une et l’autre une même fonction de $x,$ si l’on y suppose successivement $0,$ $\omega ,$ $2\omega ,$ $3\omega \dots$ $i\omega ,$ etc.

On voit par là qu’il ne peut y avoir qu’une seule solution de la question, et que si l’on découvre d’une manière quelconque une fonction $\psi (x,t)$ qui satisfasse à l’équation différentielle et à l’état initial, on est assuré qu’elle est la même que la précédente donnée par l’équation (E).

281.

Cette même remarque s’applique à toutes les recherches qui ont pour objet le mouvement varié de la chaleur ; elle suit évidemment de la forme même de l’équation générale.

C’est par la même raison que l’intégrale de l’équation ${\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}$ ne peut contenir qu’une seule fonction arbitraire en $x$. En effet, lorsqu’une valeur de $v$ est donnée en fonc-