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THÉORIE DE LA CHALEUR.

répond à $i=0.$ Lorsque $t$ est nul il est nécessaire que la fonction $\varphi (x,t)$ représente l’état initial dans lequel les températures sont égales à $fx,$ on aura donc l’équation identique

$fx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }d\alpha \,f\alpha \sum _{\;\;-{\frac {1}{0}}}^{\;\;+{\frac {1}{0}}}\cos .i(\alpha -x)\qquad \qquad ({\boldsymbol {\mathrm {B} }})$

On a joint aux signes $\textstyle \int$ et $\textstyle \sum$ les indices des limites entre lesquelles l’intégrale et la somme doivent être prises. Ce théorème a lieu généralement quelle que soit la forme de la fonction $fx$ dans l’intervalle de $x=0$ à $x=2\pi \,;$ il est le même que celui qui est exprimé par les équations qui donnent le développement de $\mathrm {F} x,$ page 260, et nous verrons dans la suite que l’on peut démontrer immédiatement la vérité de l’équation (B), indépendamment des considérations précédentes.

280.

Il est facile de reconnaître que la question n’admet aucune solution différente de celle que donne l’équation (E) pag. 330. En effet la fonction $\varphi (x,t)$ satisfait entièrement à la question, et d’après la nature de l’équation différentielle ${\frac {dv}{dt}}=k{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}},$ aucune autre fonction ne peut jouir de cette même propriété. Pour s’en convaincre il faut considérer que le premier état du solide étant représenté par une équation donnée $v_{1}=fx,$ la fluxion ${\frac {dv_{1}}{dt}}$ est connue, puisqu’elle équivaut à $k{\frac {d^{2}fx}{dx^{2}}}.$ Ainsi en désignant par $v_{2}$ ou $v_{1}+k{\frac {dv_{1}}{dt}}dt$ la température au commencement du second instant, on déduira la valeur de $v_{2}$ de l’état initial et de l’équation différentielle. On connaîtra donc de la même