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THÉORIE DE LA CHALEUR.

cient de l’indéterminée dans cette même équation, et en ajoutant les produits. On parvient ainsi aux résultats suivants :

${\begin{array}{rclclclclcl}nB_{1}\!&\!\!=\!\!&\!a_{1}\!&\!\!+\!\!&\!a_{2}\!&\!\!+\!\!&\!a_{3}\!&\!\!+\!\!&\!\mathrm {etc.} \!&\!\!=\!\!&\!\mathrm {S} a_{i}\\{\tfrac {1}{2}}n\mathrm {A} _{2}\!&\!\!=\!\!&\!a_{1}\sin .0.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!a_{2}\sin .1.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!a_{3}\sin .2.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!\mathrm {etc.} \!&\!\!=\!\!&\!\mathrm {S} a_{i}\sin .(i-1)1.{\frac {2\pi }{n}}\\{\tfrac {1}{2}}n\mathrm {B} _{2}\!&\!\!=\!\!&\!a_{1}\cos .0.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!a_{2}\cos .1.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!a_{3}\cos .2.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!\mathrm {etc.} \!&\!\!=\!\!&\!\mathrm {S} a_{i}\cos .(i-1)1.{\frac {2\pi }{n}}\\{\tfrac {1}{2}}n\mathrm {A} _{3}\!&\!\!=\!\!&\!a_{1}\sin .0.2.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!a_{2}\sin .1.2.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!a_{3}\sin .2.2.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!\mathrm {etc.} \!&\!\!=\!\!&\!\mathrm {S} a_{i}\sin .(i-1)2.{\frac {2\pi }{n}}\\{\tfrac {1}{2}}n\mathrm {B} _{3}\!&\!\!=\!\!&\!a_{1}\cos .0.2.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!a_{2}\cos .1.2.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!a_{3}\cos .2.2.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!\mathrm {etc.} \!&\!\!=\!\!&\!\mathrm {S} a_{i}\cos .(i-1)2.{\frac {2\pi }{n}}\\{\tfrac {1}{2}}n\mathrm {A} _{4}\!&\!\!=\!\!&\!a_{1}\sin .0.3.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!a_{2}\sin .1.3.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!a_{3}\sin .2.3.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!\mathrm {etc.} \!&\!\!=\!\!&\!\mathrm {S} a_{i}\sin .(i-1)3.{\frac {2\pi }{n}}\\{\tfrac {1}{2}}n\mathrm {B} _{4}\!&\!\!=\!\!&\!a_{1}\cos .0.3.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!a_{2}\cos .1.3.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!a_{3}\cos .2.3.{\frac {2\pi }{n}}\!&\!\!+\!\!&\!\mathrm {etc.} \!&\!\!=\!\!&\!\mathrm {S} a_{i}\cos .(i-1)3.{\frac {2\pi }{n}}\\\!&\!\!+\!\!&\!\mathrm {etc.} &&&&&&&&\qquad ({\boldsymbol {\mathrm {M} }})\\\end{array}}$

Il faut, pour trouver le développement indiqué par le signe $\mathrm {S} ,$ donner à $i$ ses $n$ valeurs successives $1\dots$ $2\dots$ $3\dots$ $4\dots$ etc. et prendre la somme, on aura en général

${\tfrac {1}{2}}n\mathrm {A} _{j}=\mathrm {S} a_{i}\sin .\left({\overline {i-1}}.{\overline {j-1}}.{\frac {2\pi }{n}}\right)\;\mathrm {et} \;{\tfrac {1}{2}}n\mathrm {B} _{j}=\mathrm {S} a_{i}\cos .\left({\overline {i-1}}.{\overline {j-1}}.{\frac {2\pi }{n}}\right)$

Si l’on donne au nombre entier $j$ toutes les valeurs successives $1\dots$ $2\dots$ $3\dots$ $4\dots$ etc. qu’il peut avoir, ces deux formules fourniront les équations, et si l’on développe le terme sous le signe $\mathrm {S} ,$ en donnant à $i$ ses $n$ valeurs $1\dots$ $2\dots$ $3\dots$ $4\dots$ etc. on aura les valeurs des inconnues $\mathrm {A_{1}B_{1}} \;\mathrm {A_{2}B_{2}} \;\mathrm {A_{3}B_{3}} \dots$ etc., et les équations $(m)$ art. 267 seront entièrement résolues.