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CHAPITRE IV.

partie de la circonférence égale à ${\frac {2\pi }{n}}\,;$ 2^o  que si l’on multiplie terme à terme les deux séries,

${\begin{aligned}\cos .0u&,\;\cos .1u,\;\cos .2u,\;\cos .3u,\;\cos .4u,\;\cos .5u\dots \;\mathrm {etc.} \\\cos .0v&,\;\cos .1v,\;\cos .2v,\;\cos .3v,\;\cos .4v,\;\cos .5v\dots \;\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

la somme des produits sera nulle, excepté le cas où $u$ est égal à $v\,;$ 3^o  que si l’on multiplie terme à terme les deux suites,

${\begin{aligned}\sin .0u&,\;\,\sin .1u,\;\sin .2u,\;\,\sin .3u,\;\sin .4u\dots \;\mathrm {etc.} \\\cos .0v&,\;\cos .1v,\;\cos .2v,\;\cos .3v,\;\cos .4v\dots \;\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

la somme des produits sera toujours nulle.

269.

On désignera par $q$ l’arc ${\frac {2\pi }{n}}$, par $\mu q$ l'arc $u,$ et par $\nu q$ l’arc $v$, $\mu$ et $\nu$ étant des nombres entiers positifs moindres que $n.$ Le produit de deux termes correspondants des deux premières séries sera représenté par

$\sin .j\mu q.\sin .j\nu q\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{2}}\cos .j{\overline {\mu -\nu }}\,q-{\frac {1}{2}}\cos .j{\overline {\mu +\nu }}\,q$

la lettre $j$ désignant un terme quelconque de la suite, $0\dots$ $1\dots$ $2\dots$ $3\dots$ $i\dots$ $n-1\,;$ or il est facile de prouver que si l’on donne à $j$ ses $n$ valeurs successives, depuis 0 jusqu’à $n-1,$ la somme

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\cos .0{\overline {\mu -\nu }}\,&q+{\frac {1}{2}}\cos .1{\overline {\mu -\nu }}\,q+{\frac {1}{2}}\cos .2{\overline {\mu -\nu }}\,q\\+&{\frac {1}{2}}\cos .3{\overline {\mu -\nu }}\,q+\dots +{\frac {1}{2}}\cos .\left({\overline {n-1}}.{\overline {\mu -\nu }}.q\right)\end{aligned}}$