Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/345

313

CHAPITRE IV.

pour déterminer $\mathrm {A_{1}B_{1}} \;\mathrm {A_{2}B_{2}} \;\mathrm {A_{3}B_{3}}$ etc., les équations suivantes :

${\begin{aligned}a_{1}&=\mathrm {A} _{1}\sin .0.0.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{2}\sin .0.1.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{3}\sin .0.2.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {etc.} \\&+\mathrm {B} _{1}\cos .0.0.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{2}\cos .0.1.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{3}\cos .0.2.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {etc.} \\a_{2}&=\mathrm {A} _{1}\sin .1.0.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{2}\sin .1.1.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{3}\sin .1.2.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {etc.} \\&+\mathrm {B} _{1}\cos .1.0.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{2}\cos .1.1.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{3}\cos .1.2.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {etc.} \\a_{3}&=\mathrm {A} _{1}\sin .2.0.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{2}\sin .2.1.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{3}\sin .2.2.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {etc.} \\&+\mathrm {B} _{1}\cos .2.0.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{2}\cos .2.1.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{3}\cos .2.2.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {etc.} \\a_{n}&=\mathrm {A} _{1}\sin .{\overline {n-1}}.0.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{2}\sin .{\overline {n-1}}.1.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {A} _{3}\sin .{\overline {n-1}}.2.{\frac {2\pi }{n}}\\&\qquad \qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad \qquad +\mathrm {etc.} \\&+\mathrm {B} _{1}\cos .{\overline {n-1}}.0.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{2}\cos .{\overline {n-1}}.1.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{3}\cos .{\overline {n-1}}.2.{\frac {2\pi }{n}}\\({\boldsymbol {m}})&\qquad \qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad \qquad +\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

268.

Dans ces équations, dont le nombre est $n,$ les quantités inconnues sont $\mathrm {A_{1}B_{1}}$ $\mathrm {A_{2}B_{2}}$ $\mathrm {A_{3}B_{3}} \dots$ etc., il s’agit d’effectuer les éliminations et de trouver les valeurs de ces indéterminées. On remarquera d’abord que la même indéterminée a un multiplicateur différent dans chaque équation, et que la suite de ces multiplicateurs compose une série récurrente. En effet, cette suite est celle des sinus croissants en progression arithmétique, ou celle des cosinus des mêmes arcs ; elle peut être représentée par