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THÉORIE DE LA CHALEUR.

riables. il suit de là qu’en désignant par $\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1}$ $\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2}$ $\mathrm {A} _{3}\mathrm {B} _{3}\dots$ $\mathrm {A} _{n}\mathrm {B} _{n}$ des coëfficients quelconques, on pourra prendre, pour exprimer la valeur générale d’une des variables, par exemple, de $\alpha _{m+1}$ l’équation

${\begin{aligned}\alpha _{m+1}&=\left(\mathrm {A} _{1}\sin .mu_{1}+\mathrm {B} _{1}\cos .mu_{1}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t.\mathrm {sin.V} .u_{1}}\\&+\left(\mathrm {A} _{2}\sin .mu_{2}+\mathrm {B} _{2}\cos .mu_{2}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t.\mathrm {sin.V} .u_{2}}\\\dots &+\left(\mathrm {A} _{n}\sin .mu_{n}+\mathrm {B} _{n}\cos .mu_{n}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t.\mathrm {sin.V} .u_{n}}.\\\end{aligned}}$

Les quantités $\mathrm {A} _{1}\,\mathrm {A} _{2}\,\mathrm {A} _{3}\dots \,\mathrm {A} _{n},$ $\mathrm {B} _{1}\,\mathrm {B} _{2}\mathrm {B} _{3}\dots \,\mathrm {B} _{n}$ qui entrent dans cette équation, sont arbitraires, et les arcs $u_{1}\,u_{2}\,u_{3}\dots \,u_{n}$ sont donnés par les équations

$u_{1}=0.{\frac {2\pi }{n}},\quad u_{2}=1.{\frac {2\pi }{n}},\quad u_{3}=2.{\frac {2\pi }{n}}\dots \quad u_{n}={\overline {n-1}}.{\frac {2\pi }{n}}.$

Les valeurs des variables générales $\alpha _{1}\,\alpha _{2}\,\alpha _{3}\dots \,\alpha _{n}$ sont donc exprimées par les équations suivantes :

${\begin{aligned}\alpha _{1}&=\left(\mathrm {A} _{1}\sin .0.u_{1}+\mathrm {B} _{1}\cos .0.u_{1}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u_{1}}\\&+\left(\mathrm {A} _{2}\sin .0.u_{2}+\mathrm {B} _{2}\cos .0.u_{2}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u_{2}}\\&+\left(\mathrm {A} _{3}\sin .0.u_{3}+\mathrm {B} _{3}\cos .0.u_{3}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u_{3}}+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\alpha _{2}&=\left(\mathrm {A} _{1}\sin .1.u_{1}+\mathrm {B} _{1}\cos .1.u_{1}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u_{1}}\\&+\left(\mathrm {A} _{2}\sin .1.u_{2}+\mathrm {B} _{2}\cos .1.u_{2}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u_{2}}\\&+\left(\mathrm {A} _{3}\sin .1.u_{3}+\mathrm {B} _{3}\cos .1.u_{3}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u_{3}}+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$