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CHAPITRE IV.

Les quantités $b_{1}\,b_{2}\,b_{3}\dots b_{n}$ sont des constantes indéterminées, ainsi que l’exposant $h.$ Il est facile de voir que ces valeurs de $b_{1}\,b_{2}\,b_{3}\dots b_{n}$ satisfont aux équations différentielles, si l’on a les conditions suivantes :

${\begin{aligned}b_{1}h&={\frac {k}{m}}\left(b_{n}-2b_{1}+b_{2}\right)\\b_{2}h&={\frac {k}{m}}\left(b_{1}-2b_{2}+b_{3}\right)\\\vdots &\\b_{i}h&={\frac {k}{m}}\left(b_{i-1}-2b_{i}+b_{i+1}\right)\\\vdots &\\b_{n-1}h&={\frac {k}{m}}\left(b_{n-2}-2b_{n-1}+b_{n}\right)\\b_{n}h&={\frac {k}{m}}\left(b_{n-1}-2b_{n}+b_{1}\right),\\\end{aligned}}$

soit $q={\frac {hm}{k}},$ on aura, en commençant par la dernière équation,

${\begin{aligned}b_{1}&=b_{n}\left(q+2\right)-b_{n-1}\\b_{2}&=b_{1}\left(q+2\right)-b_{n}\\b_{3}&=b_{2}\left(q+2\right)-b_{1}\\\vdots &\\b_{i}&=b_{i-1}\left(q+2\right)-b_{i-2}\\\vdots &\\b_{n}&=b_{n-1}\left(q+2\right)-b_{n-2}.\\\end{aligned}}$

Il en résulte que l’on peut prendre pour $b_{1}\,b_{2}\,b_{3}\dots \,b_{i}\dots \,b_{n},$ les $n$ sinus consécutifs que l’on obtient en divisant la circonférence entière $2\pi$ en un nombre $n$ de parties égales. En effet, en appelant $u$ l’arc. $2{\frac {\pi }{n}},$ les quantités

$\sin .0u,\quad \sin .1u,\qquad \sin .2u,\qquad \sin .3u,\;\dots \sin .{\overline {n-1}}\,u$