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THÉORIE DE LA CHALEUR.

en comparant cette équation à celle-ci

$\sin .mu=2\cos .u\,\sin .{\overline {m-1}}\,u-\sin .{\overline {m-2}}\,u,$

qui exprime une propriété connue de sinus d’arcs croissants en progression arithmétique, on en conclut $q+2=\cos .u,$ ou $q=-2\mathrm {sin.vers.} u\,;$ il ne reste plus qu’à déterminer la valeur de l’arc $u.$

La valeur générale de $a_{m}$ étant

${\frac {a_{1}}{\sin .u}}\left(\sin .mu-\sin .{\overline {m-1}}u\right)$

on aura, pour satisfaire à la condition $a_{n+1}=a_{n},$ l’équation

$\sin .{\overline {n+1}}\,u-\sin .u=\sin .nu-\sin .{\overline {n-1}}\,u,$

d’où l’on tire $\sin .nu=0,$ ou $u=i{\frac {\pi }{n}},$ $\pi$ étant la demi-circonférence et $i$ un nombre entier quelconque, tel que $0,\,1,\,2,\,3,\,4\dots \,n-1\,;$ on en peut déduire les $n$ valeurs de $q$ ou ${\frac {hm}{\mathrm {K} }}.$ Ainsi toutes les racines de l’équation en $h,$ qui donnent les valeurs de $h\,h'\,h''\,h'''$ sont réelles négatives et fournies par les équations :

${\begin{aligned}h&=-2{\frac {k}{m}}\mathrm {sin.V} \left(0{\frac {\pi }{n}}\right)\\h'&=-2{\frac {k}{m}}\mathrm {sin.V} \left(1{\frac {\pi }{n}}\right)\\h''&=-2{\frac {k}{m}}\mathrm {sin.V} \left(2{\frac {\pi }{n}}\right)\\h^{(n-1)}&=-2{\frac {k}{m}}\sin .\mathrm {V} \left({\overline {n-1}}{\frac {\pi }{n}}\right)\\\end{aligned}}$

Supposons donc qu’on ait divisé la demi-circonférence $\pi$