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CHAPITRE IV.

tous ses points serait réunie subitement à l’autre moitié qui aurait, dans toutes ses parties, la température initiale 0.

On a vu précédemment (art. 106) que les températures permanentes de l’anneau sont exprimées par l’équation $v=a\alpha ^{x}+b\alpha ^{-x},$ et la quantité $\alpha$ a pour valeur $\textstyle e^{-{\sqrt {\frac {hl}{ks}}}},$ $l$ est le contour de la section génératrice, et $s$ la surface de cette section. Si l’on suppose qu’il y ait un seul foyer, il sera nécessaire que l’on ait l’équation ${\tfrac {dv}{dx}}=0$ au point opposé à celui qui est occupé par le foyer. La condition $a\alpha ^{x}-b\alpha ^{-x}=0$ sera donc satisfaite en ce point. Regardons, pour plus de facilité dans le calcul, la fraction ${\tfrac {hl}{ks}}$ comme égale à l’unité, et prenons le rayon $r$ de l’anneau pour le rayon des tables trigonométriques, on aura $v=a\alpha ^{x}+b\alpha ^{-x},$ donc l’état initial de l’anneau est représenté par l’équation

$v=be^{-\pi }\left(e^{-\pi +x}+e^{\pi -x}\right).$

Il ne reste plus qu’à appliquer l’équation générale (E), et en désignant par $\mathrm {M}$ la chaleur moyenne initiale, on aura

$v=2e^{-ht}\mathrm {M} \left({\frac {1}{2}}-{\frac {\cos .x}{1^{2}+1}}e^{-kt}+{\frac {\cos .2x}{2^{2}+1}}e^{-2^{2}kt}-{\frac {\cos .3x}{3^{2}+1}}e^{-3^{2}kt}+{\frac {\cos .4x}{4^{2}+1}}e^{-4^{2}kt}-\mathrm {etc.} \right).$

Cette équation exprime l’état variable d’un anneau solide, qui, ayant été échauffé par un de ses points et élevé à des températures stationnaires, se refroidit dans l’air après la suppression du foyer.