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CHAPITRE IV.

en y faisant $h=0\,:$ on conclut de là que les différents points de l’anneau se refroidissent successivement, par l’action du milieu, sans que cette circonstance trouble en aucune manière la loi de la distribution de la chaleur. En effet, en intégrant l’équation $\textstyle {\frac {du}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},$ on trouverait les valeurs de $u$ qui répondent aux différents points de l’anneau dans un même instant, et l’on connaîtrait quel serait l’état du solide si la chaleur s’y propageait sans qu’il y eût aucune déperdition à la surface ; pour déterminer ensuite quel aurait été l’état du solide au même instant, si cette déperdition eût eu lieu, il suffirait de multiplier toutes les valeurs de $u$ prises pour les divers points, et pour un même instant, par une même fraction qui est $e^{-ht}.$ Ainsi le refroidissement qui s’opère à la surface ne change point la loi de la distribution de la chaleur ; il en résulte seulement que la température de chaque point est moindre qu’elle n’eut été sans cette circonstance, et elle diminue pour cette cause proportionnellement aux puissances successives de la fraction $e^{-ht}.$

239.

La question étant réduite à intégrer l’équation $\textstyle {\frac {du}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},$ on cherchera, en premier lieu, les valeurs particulières les plus simples que l’on puisse attribuer à la variable $a\,;$ on en composera ensuite une valeur générale, et l’on démontrera que cette valeur est aussi étendue que l’intégrale qui contient une fonction arbitraire en $x,$ ou plutôt qu’elle est cette intégrale elle-même, mise sous la forme qu’exige la question, en sorte qu’il ne peut y avoir aucune solution différente.