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THÉORIE DE LA CHALEUR.

On a

${\begin{aligned}2\mathrm {F} (y,p)&={\begin{array}{l}e^{-(y+p{\sqrt {-1}})}+e^{-2(y+p{\sqrt {-1}})}+e^{-3(y+p{\sqrt {-1}})}+\mathrm {etc.} \\e^{-(y-p{\sqrt {-1}})}+e^{-2(y-p{\sqrt {-1}})}+e^{-3(y-p{\sqrt {-1}})}+\mathrm {etc.} \\\end{array}}\\&={\frac {e^{-(y+p{\sqrt {-1}})}}{1-e^{-(y+p{\sqrt {-1}})}}}+{\frac {e^{-(y-p{\sqrt {-1}})}}{1-e^{-(y-p{\sqrt {-1}})}}}\\&\\\mathrm {ou} \quad \mathrm {F} (y,p)&={\frac {\cos .p-e^{-y}}{e^{y}-2\cos .p+e^{-y}}}\\\end{aligned}}$

donc

${\begin{aligned}\pi v&=\int \limits _{0}^{\pi }f\alpha \,d\alpha \left\{{\frac {\cos .{\overline {x-\alpha }}-e^{-y}}{e^{y}-2\cos .{\overline {x-\alpha }}+e^{-y}}}-{\frac {\cos .{\overline {x+\alpha }}-e^{-y}}{e^{y}-2\cos .{\overline {x+\alpha }}+e^{-y}}}\right\}\end{aligned}}$

ou

${\begin{aligned}\pi v&=\!\int \limits _{0}^{\pi }\!f\alpha \,d\alpha \left\{{\frac {2\left(e^{y}-e^{-y}\right)\sin .x.\sin .\alpha }{\left(e^{y}-2\cos .{\overline {x-\alpha }}+e^{-y}\right)\left(e^{y}-2\cos .{\overline {x+\alpha }}+e^{-y}\right)}}\right\}\end{aligned}}$

ou décomposant le coëfficient en deux fractions,

$\pi v={\frac {\left(e^{y}-e^{-y}\right)}{2}}\!\int \limits _{0}^{\pi }\!f\alpha \,d\alpha \left({\frac {1}{e^{y}-2\cos .{\overline {x-\alpha }}+e^{-y}}}-{\frac {1}{e^{y}-2\cos .{\overline {x+\alpha }}+e^{-y}}}\right)$

Cette équation contient sous la forme finie, et en termes réels, l’intégrale de l’équation ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0,$ appliquée à la question du mouvement uniforme de la chaleur dans un solide rectangulaire, exposé par son extrémité à l’action constante d’un seul foyer.