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THÉORIE DE LA CHALEUR.

données. Cette remarque s’applique à un nombre quelconque de séries.

3^o  La série (P) (art. 234) qui donne le développement d’une fonction $\mathrm {F} x$ en une suite de sinus et de cosinus d’arcs multiples, peut être mise sous cette forme :

$\pi \mathrm {F} x={\frac {1}{2}}\int \mathrm {F} \alpha \,d\alpha {\begin{array}{l}+\cos .x\!\int \!\mathrm {F} \alpha \cos .\alpha \,d\alpha +\cos .2x\!\int \!\mathrm {F} \alpha \cos .2\alpha \,d\alpha +\mathrm {etc.} \\+\sin .x\int \!\mathrm {F} \alpha \sin .\alpha \,d\alpha +\sin .2x\int \!\mathrm {F} \alpha \sin .2\alpha \,d\alpha +\mathrm {etc.} \\\end{array}}$

$\alpha$ étant une nouvelle variable qui disparaît après les intégrations. On a donc

$\pi \mathrm {F} x=\!\int \limits _{-\pi }^{+\pi }\!\mathrm {F} \alpha \,d\alpha \left\{{\frac {1}{2}}\!{\begin{array}{l}+\cos .x\cos .\alpha +\cos .2x\cos .2\alpha +\cos .3x\cos .3\alpha +\mathrm {etc.} \\+\sin .x\sin .\alpha \,+\sin .2x\sin .2\alpha \,+\sin .3x\sin .3\alpha \,+\mathrm {etc.} \\\end{array}}\!\right\}$

$\mathrm {ou} \quad \mathrm {F} x={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{+\pi }\mathrm {F} \alpha \,d\alpha \left({\frac {1}{2}}+\cos .{\overline {x-\alpha }}+\cos .2\,{\overline {x-\alpha }}+\cos .3\,{\overline {x-\alpha }}+\mathrm {etc.} \right)$

Donc, en désignant par $\textstyle \sum \cos .i\,{\overline {x-\alpha }},$ la somme de la série précédente, prise depuis $i=1$ jusqu’à $i={\tfrac {1}{0}},$ on aura

$\mathrm {F} x={\frac {1}{\pi }}\int \mathrm {F} \alpha \,d\alpha \left(\sum \cos .i\,{\overline {x-\alpha }}+{\frac {1}{2}}\right).$

L’expression $\textstyle {\frac {1}{2}}+\sum \cos .i\,{\overline {x-\alpha }}$ représente une fonction de $x$ et de $\alpha$ telle que si on la multiplie par une fonction quelconque $\mathrm {F} \alpha ,$ et, si après avoir écrit $d\alpha ,$ on intègre entre les limites $\alpha =-\pi$ et $\alpha =\pi ,$ on aura changé la fonction proposée $\mathrm {F}$ a en une pareille fonction de $x$ multipliée par la demi-circonférence $\pi .$ On verra par la suite quelle est la nature de ces quantités, telles que $\textstyle {\frac {1}{2}}+\sum \cos .i\,{\overline {x-\alpha }},$ qui jouissent de la propriété que l’on vient d’énoncer.