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THÉORIE DE LA CHALEUR.

${\begin{array}{r}\displaystyle \mathrm {et} \;{\tfrac {1}{2}}rfx=\sin .\left(\pi {\frac {x}{r}}\right)\!\!\int \!\!fx\sin .\left(\pi {\frac {x}{r}}\right)dx+\sin .\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)\!\!\int \!\!fx\sin .\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)dx+\mathrm {etc.} \\(\mathbf {M} )\\\end{array}}$

dans la première équation (P), les intégrales pourraient être prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=2r$, et en représentant par $\mathrm {X}$ l’intervalle total $2r$, on aura

${\begin{array}{r}\displaystyle \mathrm {X} fx={\frac {1}{2}}\!\int \!fx\,dx{\begin{array}{l}\displaystyle +\cos .\left(2\pi {\frac {x}{\mathrm {X} }}\right)\!\int \!fx\cos .\left(2\pi {\frac {x}{\mathrm {X} }}\right)dx+\cos .2.\left(2\pi {\frac {x}{\mathrm {X} }}\right)\!\int \!fx\cos .2\left(2\pi {\frac {x}{\mathrm {X} }}\right)dx+\mathrm {etc.} \\\displaystyle +\,\sin .\left(2\pi {\frac {x}{\mathrm {X} }}\right)\!\int \!fx\sin .\left(2\pi {\frac {x}{\mathrm {X} }}\right)dx\,+\,\sin .2.\left(2\pi {\frac {x}{\mathrm {X} }}\right)\!\int \!fx\sin .2\left(2\pi {\frac {x}{\mathrm {X} }}\right)dx+\mathrm {etc.} \\\end{array}}\\({\boldsymbol {\Pi }})\quad \\\end{array}}$

235.

Il résulte de tout ce qui a été démontré dans cette section , concernant le développement des fonctions en séries trigonométriques, que si l’on propose une fonction $fx$, dont la valeur est représentée dans un intervalle déterminé, depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X}$, par l’ordonnée d’une ligne courbe tracée arbitrairement on pourra toujours développer cette fonction en une série qui ne contiendra que les sinus, ou les cosinus, ou les sinus et cosinus des arcs multiples, ou les seuls cosinus des multiples impairs. On emploiera, pour connaître les termes de ces séries, les équations (M), (N), (P).

On ne peut résoudre entièrement les questions fondamentales de la théorie de la chaleur, sans réduire à cette forme les fonctions qui représentent l’état initial des températures.

Ces séries trigonométriques, ordonnées selon les cosinus ou les sinus des multiples de l’arc, appartiennent à l’analyse élémentaire, comme les séries dont les termes contiennent