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THÉORIE DE LA CHALEUR.

même que l’intégrale

$\int \limits _{-\pi }^{+\pi }(\varphi x+\psi x)\cos .ix\,dx\quad \mathrm {ou} \quad \int \limits _{-\pi }^{+\pi }\mathrm {F} x\,\cos .ix\,dx\,;$

On reconnaîtra aussi que l’intégrale $\textstyle \int \limits _{-\pi }^{+\pi }\psi x\sin .ix\,dx$ est égale à l’intégrale $\textstyle \int \limits _{-\pi }^{+\pi }\mathrm {F} x\sin .ix\,dx,$ parce que l’intégrale

$\int \limits _{-\pi }^{+\pi }\varphi x\sin .ix\,dx$

est nulle. On obtient par-là l’équation suivante $(p),$ qui sert à développer une fonction quelconque en une suite formée de sinus et de cosinus d’arcs multiples ;

$\pi \,\mathrm {F} x={\frac {1}{2}}\int \mathrm {F} x\,dx_{\textstyle +\sin .x\int \mathrm {F} x\,\sin .x\,dx+\,\sin .2x\int \mathrm {F} x\,\sin .2x\,dx+\mathrm {etc.} }^{\textstyle +\cos .x\int \mathrm {F} x\,\cos .x\,dx+\cos .2x\int \mathrm {F} x\,\cos .2x\,dx+\mathrm {etc.} }\;\;({\boldsymbol {p}})$

234.

La fonction $\mathrm {F} x$, qui entre dans cette équation, est représentée par une ligne F’F’FF, d’une forme quelconque. L’arc F’F’FF, qui répond à l’intervalle de $-\pi$ à $+\pi$, est arbitraire ; toutes les autres parties de la ligne sont déterminées, et l’arc F’F’FF est répété dans tous les intervalles consécutifs dont la longueur est $2\pi$. Nous ferons des applications fréquentes de ce théorème, et des équations précédentes (m) et (n).