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CHAPITRE III.

on en conclut

$\varphi x=\varphi (-x)\quad \mathrm {et} \quad \psi x=-\psi (-x)\;;$

ce que la construction rend d’ailleurs évident.

Ainsi les deux fonctions $\varphi x$ et $\psi x,$ dont la somme équivaut à $\mathrm {F} x,$ peuvent être développées l’une en cosinus d’arcs multiples et l’autre en sinus.

Si l’on applique à la première fonction l’équation $(\nu ),$ et à la seconde l’équation $(\mu ),$ en prenant dans l’une et l’autre les intégrales depuis $x=-\pi$ jusqu’à $x=\pi ,$ et si l’on ajoute les deux résultats, on aura

$\pi \left(\varphi x+\psi x\right)=\pi \,\mathrm {F} x={\frac {1}{2}}\int \varphi x\,dx\!\!{\begin{array}{l}+\cos .x\int \varphi x\,dx+\cos .2x\int \varphi x\,\cos .2x\,dx+\mathrm {etc.} \\+\sin .x\int \psi x\,dx+\,\sin .2x\int \psi x\,\sin .2x\,dx+\mathrm {etc.} \\\end{array}}$

les intégrales doivent être prises depuis $x=-\pi$ jusqu’à $x=\pi .$ Il faut remarquer maintenant que dans l’intégrale $\textstyle \int \limits _{-\pi }^{+\pi }\varphi x\,\cos .x\,dx$ on pourrait, sans en changer la valeur, mettre $\varphi x+\psi x$ au lieu de $\varphi x\,:$ car la fonction $\cos .x$ étant composée, à droite et à gauche de l’axe des $x,$ de deux parties semblables, et la fonction $\psi x$ étant au contraire formée de deux parties opposées, l’intégrale $\textstyle \int \limits _{-\pi }^{+\pi }\psi x\,\cos .x\,dx$ est nulle. Il en serait de même si l’on mettait $\cos .2x$ ou $\cos .3x$ et en général $\cos .ix$ au lieu de $\cos .x,$ $i$ étant un des nombres entiers depuis $0$ jusqu’à l’infini. Ainsi l’intégrale $\textstyle \int \limits _{-\pi }^{+\pi }\varphi x\,\cos .ix\,dx$ est la