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CHAPITRE III.

On tire

${\frac {1}{8}}\pi ={\frac {1}{1.3}}+{\frac {1}{5.7}}+{\frac {1}{9.11}}+{\frac {1}{13.15}}+\mathrm {etc.}$

et aussi

${\frac {1}{8}}\pi ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3.5}}-{\frac {1}{7.9}}-{\frac {1}{11.13}}-{\frac {1}{13.15}}-\mathrm {etc.}$

en ajoutant ces deux résultats, on a, comme précédemment,

${\frac {1}{4}}\pi ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1.3}}-{\frac {1}{3.5}}+{\frac {1}{5.7}}-{\frac {1}{7.9}}+{\frac {1}{9.11}}-{\frac {1}{11.13}}+\mathrm {etc.}$

226.

L’analyse précédente donnant le moyen de développer une fonction quelconque en série de sinus ou de cosinus d’arcs multiples, nous l’appliquerons facilement au cas où la fonction à développer a des valeurs déterminées, lorsque la variable est comprise entre de certaines limites et a des valeurs nulles, lorsque la variable est comprise entre d’autres limites. Nous nous arrêterons à l’examen de ce cas particulier, parce qu’il se présente dans les questions physiques qui dépendent des équations aux différences partielles, et qu’il avait été proposé autrefois comme un exemple des fonctions qui ne peuvent être développées en sinus ou cosinus d’arcs multiples. Supposons donc que l’on ait à réduire en une série de cette forme une fonction dont la valeur est constante, lorsque $x$ est comprise entre $0$ et $\alpha ,$ et dont toutes les valeurs sont nulles lorsque $x$ est comprise entre $\alpha$ et $\pi .$ On emploiera l’équation générale $(m)$ dans laquelle les intégrales doivent être prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi .$ Les valeurs de $\varphi x$ qui entrent sous le signe $\textstyle \int$