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CHAPITRE III.

tions possibles, soit que l’on en puisse exprimer la nature par les moyens connus de l’analyse, soit qu’elles correspondent à des courbes tracées arbitrairement.

225.

Si la fonction proposée dont on demande le développement en cosinus d’arcs multiples est la variable $x$ elle-même ; on écrira l’équation

${\tfrac {1}{2}}\pi x=a_{0}+a_{1}\cos .x+a_{2}\cos .2x+a_{3}\cos .3x+\dots +a_{i}\cos .ix+\mathrm {etc.}$

et l’on aura, pour déterminer un coëfficient quelconque $a_{i},$ l'équation $\textstyle a_{i}=\int \limits _{0}^{\pi }x\,\cos .ix\,dx.$ Cette intégrale a une valeur nulle lorsque $i$ est un nombre pair, et est égal à $-{\tfrac {i^{2}}{2}}$ lorsque $i$ est impair. On a en même temps $a_{0}={\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}.$ On formera donc la série suivante,

$x={\frac {1}{2}}\pi -4{\frac {\cos .x}{\pi }}-4{\frac {\cos .3x}{3^{2}\pi }}-4{\frac {\cos .5x}{5^{2}\pi }}-4{\frac {\cos .7x}{7^{2}\pi }}-\mathrm {etc.}$

On peut remarquer ici que nous sommes parvenus à trois développements différents de ${\tfrac {1}{2}}x,$ savoir :

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}x&=\sin .x-{\frac {1}{2}}.\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+{\frac {1}{5}}\sin .5x-\mathrm {etc.} \\{\frac {1}{2}}x&={\frac {2}{\pi }}\sin .x+{\frac {2}{3^{2}\pi }}.\sin .3x+{\frac {2}{5^{2}\pi }}\sin .5x+{\frac {2}{7^{2}\pi }}\sin .7x+\mathrm {etc.} \\{\frac {1}{2}}x&={\frac {1}{4}}\pi -{\frac {2}{\pi }}\cos .x-{\frac {2}{3^{2}\pi }}\cos .3x-{\frac {2}{5^{2}\pi }}\cos .5x-\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

Il faut remarquer que ces trois valeurs de ${\tfrac {1}{2}}x$ ne doivent point être considérées comme égales, abstraction faite de