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THÉORIE DE LA CHALEUR.

Cette intégrale, prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi$, est évidemment nulle toutes les fois que$j$ et $i$ sont deux nombres différents. Il n’en est pas de même lorsque ces deux nombres sont égaux. Le dernier terme ${\frac {1}{2(j-i)}}\sin .{\overline {j-i}}x$ devient ${\tfrac {0}{0}},$ et sa valeur est ${\tfrac {1}{2}}\pi ,$ lorsque l’arc $x$ est égal à $\pi .$ Si donc on multiplie les deux termes de l’équation précédente $(m)$ par $\cos .ix,$ et que l’on intègre depuis $0$ jusqu'à $\pi ,$ on aura : $\textstyle \int \varphi x\,\cos .ix\,dx={\frac {1}{2}}\pi a_{i},$ équation qui fera connaître la valeur du coëfficient $a_{i}.$ Pour trouver le premier coëfficient $a_{0}$, on remarquera que dans l’intégrale

${\frac {1}{2(j+i)}}\sin .{\overline {j+i}}\,x+{\frac {1}{2(j-i)}}\sin .{\overline {j-i}}\,x\,,$

si $j=0$ et $i=0$ chacun des termes devient ${\tfrac {0}{0}},$ et la valeur de chaque terme est ${\tfrac {1}{2}}\pi \,;$ ainsi l’intégrale $\textstyle \int \cos .jx\,\cos .ix\,dx,$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi$ est nulle lorsque les deux nombres entiers $j$ et $i$ sont différents ; elle est ${\tfrac {1}{2}}\pi$ lorsque les deux nombres $j$ et $i$ sont égaux, mais différents de zéro, elle est égale à $\pi$ lorsque $j$ et $i$ sont l’un et l’autre égaux à zéro, on obtient ainsi l’équation suivante :

${\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}&\pi \varphi x={\tfrac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\varphi x\,dx+\cos .x\int \limits _{0}^{\pi }\varphi x\,\cos .x\,dx\\&+\cos .2x\int \limits _{0}^{\pi }\varphi x\,\cos .2x\,dx+\cos .3x\int \limits _{0}^{\pi }\varphi x\,\cos .3x\,dx+\mathrm {etc.} \;\;({\boldsymbol {n}})\\\end{aligned}}$

Ce théorème et le précédent conviennent à toutes les fonc-