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CHAPITRE III.

${\begin{aligned}&\mathrm {ou} \quad \cos .x={\frac {2}{\pi }}\left\{\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}\right)\sin .2x+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)\sin .4x\right.\\&+\left.\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)\sin .6x+\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\right)\sin .8x+\left({\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}\right)\sin .10x+\mathrm {etc.} \right\}\\\end{aligned}}$

Ce résultat a cela de remarquable qu’il offre le développement du cosinus en une suite de fonctions dont chacune ne contient que des puissances impaires. Si l’on fait dans l’équation précédente $x={\tfrac {1}{4}}\pi ,$ on trouvera :

${\frac {1}{4}}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}-{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+\mathrm {etc.} \right)$

Cette dernière série est connue (introd. ad analysin. infinit. cap. X).

224.

On peut employer une analyse semblable pour développer une fonction quelconque en série de cosinus d’arcs multiples. Soit $\varphi x$ la fonction dont on demande le développement, on écrira :

$\varphi x=a_{0}\cos .0x+a_{1}\cos .x+a_{2}\cos .2x+a_{3}\cos .3x+\dots +a_{i}\cos .ix\dots +\mathrm {etc.}$

Si l’on multiplie les deux membres de cette équation par $\cos .jx$ et que l’on intègre chacun des termes du second membre depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi \,;$ il est facile de s’assurer que la valeur de cette intégrale sera nulle, excepté pour le seul terme qui contient déjà $\cos .jx.$ Cette remarque donne immédiatement le coëfficient $a_{j}\,;$ il suffira en général de considérer la valeur de l’intégrale $\textstyle \int \cos .jx\,\cos .ix\,dx,$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi ,$ en supposant que $j$ et $i$ sont des nombres entiers. On a

$\int \cos .jx\,\cos .ix\,dx={\frac {1}{2(j+i)}}\sin .{\overline {j+i}}\,x+{\frac {1}{2(j-i)}}\sin .{\overline {j-i}}\,x+c.$