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CHAPITRE III.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}\pi \varphi x&=\sin .x\,\mathrm {S} (\varphi x\sin .x.dx)+\sin .2x\,\mathrm {S} (\varphi x\sin .2x.dx)\\&+\sin .3x\,\mathrm {S} (\varphi x\sin .2x.dx)\dots +\sin .ix\,\mathrm {S} (\varphi x\sin .ix.dx)\\&+\mathrm {etc.} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ({\boldsymbol {m}})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da7a0b2c862af0897b5763565e74b90f968dbdb)
222.
Le cas le plus simple est celui où la fonction donnée a
une valeur constante pour toutes les valeurs de la variable
comprises entre
et
dans ce cas, l’intégrale
est égale à
si le nombre
est impair, et égal à
si le
nombre
est pair. On en déduit l’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}\pi =\sin .x+{\frac {1}{3}}\sin .3x+{\frac {1}{5}}\sin .5x+{\frac {1}{7}}\sin .7x+{\frac {1}{9}}\sin .9x+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e6749294cb80a1a742a61c5506cfc3935bd0f0)
que l’on a trouvée précédemment.
Il faut remarquer que lorsqu’on a développé une fonction
en une suite de sinus d’arcs multiples la valeur de la
série
etc. est la
même que celle de la fonction
tant que la variable
est
comprise entre
et
mais cette égalité cesse en général
d’avoir lieu lorsque la valeur de
surpasse le nombre
Supposons que la fonction dont on demande le développement
soit
on aura, d’après le théorème précédent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi x&=\sin .x\int x\,\sin .x\,dx+\sin .2x\int x\,\sin .2x\,dx\\&+\sin .3x\int x\,\sin .3x\,dx+\sin .4x\int x\,\sin .4x\,dx+\mathrm {etc.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ada77c359de849e4030198b3c0872bbe6f02de5)
L’intégrale
équivaut à
les indices
et
qui sont joints au signe
font connaître les limites de l’in-