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CHAPITRE III.

${\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}\pi \varphi x&=\sin .x\,\mathrm {S} (\varphi x\sin .x.dx)+\sin .2x\,\mathrm {S} (\varphi x\sin .2x.dx)\\&+\sin .3x\,\mathrm {S} (\varphi x\sin .2x.dx)\dots +\sin .ix\,\mathrm {S} (\varphi x\sin .ix.dx)\\&+\mathrm {etc.} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ({\boldsymbol {m}})\\\end{aligned}}$

222.

Le cas le plus simple est celui où la fonction donnée a une valeur constante pour toutes les valeurs de la variable $x$ comprises entre $0$ et $\pi \,;$ dans ce cas, l’intégrale $\textstyle \int \sin .ix\,dx$ est égale à ${\frac {2}{i}}$ si le nombre $i$ est impair, et égal à $0$ si le nombre $i$ est pair. On en déduit l’équation

${\frac {1}{4}}\pi =\sin .x+{\frac {1}{3}}\sin .3x+{\frac {1}{5}}\sin .5x+{\frac {1}{7}}\sin .7x+{\frac {1}{9}}\sin .9x+\mathrm {etc.}$

que l’on a trouvée précédemment.

Il faut remarquer que lorsqu’on a développé une fonction $\varphi x$ en une suite de sinus d’arcs multiples la valeur de la série $a\sin .x+b\sin .2x+c\sin .3x+d\sin .4x+$ etc. est la même que celle de la fonction $\varphi x$ tant que la variable $x$ est comprise entre $0$ et $\pi \,;$ mais cette égalité cesse en général d’avoir lieu lorsque la valeur de $x$ surpasse le nombre $\pi .$

Supposons que la fonction dont on demande le développement soit $x,$ on aura, d’après le théorème précédent,

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi x&=\sin .x\int x\,\sin .x\,dx+\sin .2x\int x\,\sin .2x\,dx\\&+\sin .3x\int x\,\sin .3x\,dx+\sin .4x\int x\,\sin .4x\,dx+\mathrm {etc.} \end{aligned}}$

L’intégrale $\int \limits _{0}^{\pi }x\sin .ix\,dx$ équivaut à $\pm {\frac {\pi }{i}},$ les indices $0$ et $\pi$ qui sont joints au signe $\textstyle \int$ font connaître les limites de l’in-