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CHAPITRE III.
![{\displaystyle y=\sin .x,\quad y=\sin .2x,\quad y=\sin .3x,\quad y=\sin .4x,\quad \mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b8fb9a12e3619032ac7dd6df1049f67f0e9c5e)
ont été tracées pour un même intervalle sur l’axe des
, depuis
jusqu’à
et qu’ensuite on a changé ces
courbes en multipliant toutes leurs ordonnées par les ordonnées
correspondantes d’une même courbe, dont l’équation
est
Les équations des courbes réduites, sont :
![{\displaystyle y=\sin .x.\varphi x,\;y=\sin .2x.\varphi x,\;y=\sin .3x.\varphi x,\;y=\sin .4x.\varphi x,\;\mathrm {..etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152c8dab03b218a2c554f66db19044c14a48451e)
Les aires de ces dernières courbes, prises depuis
jusqu’à
seront les valeurs des coëfficients
etc.,
dans l’équation
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi \,\varphi x=a\sin .x+b\sin .2x+c\sin .3x+d\sin .4x+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e57416a43f97853641a0729590d49bf9ee5964)
221.
On peut aussi vérifier l’équation précédente (D) (art. 219),
en déterminant immédiatement les quantités
etc.,
dans l’équation
![{\displaystyle \varphi x=a_{1}\sin .x+a_{2}\sin .2x+a_{3}\sin .3x+\dots a_{j}\sin .jx+\dots \mathrm {etc.} \;;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db8cf73118b9d7d15bbb9660dd4620105ee35ba)
pour cela on multipliera chacun des membres de la dernière
équation, par
étant un nombre entier, et l’on
prendra l’intégrale depuis
jusqu’à
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {S} (\varphi x.\sin .ix.dx)=a_{1}\mathrm {S} (\sin .x\,\sin .ix.dx)+a_{2}\mathrm {S} (\sin .2x.\sin .ix.dx)&\\+\dots a_{j}\mathrm {S} (\sin .jx.\sin .ix.dx)+\dots \mathrm {etc.} &\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c883a0afcf8537a16ee1f933d472e12b1247cd9e)
Or on peut facilement prouver, 1o que toutes les intégrales
qui entrent dans le second membre, ont une valeur
nulle, excepté le seul terme
2o que
la valeur de
est
d’où l’on con-