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THÉORIE DE LA CHALEUR.

qui seraient discontinues et entièrement arbitraires. Pour établir clairement la vérité de cette proposition, il est nécessaire de poursuivre l’analyse qui fournit l’équation précédente (B) et d’examiner quelle est la nature des coëfficents qui multiplient $\sin .x,$ $\sin .2x,$ $\sin .3x,$ $\sin .4x.$ En désignant par ${\frac {s}{n}}$ la quantité qui multiplie dans cette équation ${\frac {1}{n}}\sin .nx,$ si $n$ est impair, et $-{\frac {1}{n}}\sin .nx,$ si n est pair ; on aura

$s=\varphi \pi -{\frac {1}{n^{2}}}\varphi ^{II}\pi +{\frac {1}{n^{4}}}\varphi ^{IV}\pi -{\frac {1}{n^{6}}}\varphi ^{VI}\pi +\mathrm {etc.}$

Considérant $s$ comme une fonction de $\pi ,$ différentiant deux fois, et comparant les résultats, on trouve $s+{\frac {1}{n^{2}}}{\frac {d^{2}s}{d\pi ^{2}}}=\varphi \pi \,;$ équation à laquelle la valeur précédente de $s$ doit satisfaire. Or, l’équation $s+{\frac {1}{n^{2}}}{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}=\varphi x,$ dans laquelle $s$ est considérée comme une fonction de $x,$ a pour intégrale

${\begin{aligned}s=a\cos .nx+b\sin .nx&+n\sin .nx\int \cos .nx.\varphi \,x\,dx\\&-n\cos .nx\int \sin .nx.\varphi \,x\,dx.\end{aligned}}$

$n$ étant un nombre entier, et la valeur de $x$ étant égale à $\pi ,$ on a $\textstyle s=\pm n\int \varphi x.\sin .nx\,dx.$ Le signe $+$ doit être choisi lorsque $n$ est impair, et le signe $-$ lorsque ce nombre est pair. On doit supposer $x$ égal à la demi-circonférence $\pi ,$ après l’intégration indiquée ; ce résultat se vérifie, lorqu’on développe au moyen de l’intégration par parties, le terme

$\int \varphi x\,\sin .nx.dx$