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CHAPITRE III.
dont le développement ne contient que des puissances impaires
de la variable.
216.
Le cas qui se présente le premier est celui où l’on aurait
on trouve alors
ainsi du reste. On aura donc la série
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}x=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+\mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3bcf95bb1e226985a9963307c6444b1e52c4ccd)
qui a été donnée par Euler.
Si l’on suppose que la fonction proposée soit
on aura
![{\displaystyle \varphi ^{I}0=0,\;\varphi ^{III}0=2.3,\;\varphi ^{V}0=0,\;\varphi ^{VII}0=0\dots \;\mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c852d03e288185eeed1754342074db87892acaf)
ce qui donne l’équation
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x^{3}=\left(\pi ^{2}-{\tfrac {2.3}{1^{2}}}\right)\sin .x-\left(\pi ^{2}-{\tfrac {2.3}{2^{2}}}\right){\tfrac {1}{2}}\sin .2x+\left(\pi ^{2}-{\tfrac {2.3}{3^{2}}}\right){\tfrac {1}{3}}\sin .3x+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d6f0e034026ca65de0f3376fc2f85b76e2f11f)
On parviendrait à ce même résultat en partant de l’équation
précédente,
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}x=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b65866fa8b0972f653e7e13d181e640e0d769b6)
En effet, en multipliant chaque membre par
et intégrant,
on aura
![{\displaystyle \mathrm {C} -{\frac {x^{2}}{4}}=\cos .x-{\frac {1}{2^{2}}}\cos .2x+{\frac {1}{3^{2}}}\cos .3x-{\frac {1}{4^{2}}}\cos .4x+\mathrm {etc.} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a3d04b44609ec1f06bf6edcf53465dfd95343c)
la valeur de la constante
est
![{\displaystyle 1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\mathrm {etc.} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/095296d80da811b7181739063e480d0844861f4e)