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THÉORIE DE LA CHALEUR.

215.

Connaissant les valeurs de $a\,b\,c\,d\,e\,f\dots$ etc., on les substituera dans l’équation proposée

$\varphi x=a\sin .x+b\sin .2x+d\sin .3x+e\sin .4x+\mathrm {etc.\;;}$

et mettant aussi au lieu des quantités $\mathrm {A} \,\mathrm {B} \,\mathrm {C} \,\mathrm {D} \,\mathrm {E} ,$ etc. leurs valeurs $\varphi ^{I}0,\,\varphi ^{III}0,\,\varphi ^{V}0,\,\varphi ^{VII}0,\,\varphi ^{IX}0\dots$ etc., on aura l’équation générale

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi \varphi x&=\sin .x\left\{\varphi ^{I}0+\varphi ^{III}0\left({\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{1^{2}}}\right)+\varphi ^{V}0\left({\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {1}{1^{2}}}\!\cdot \!{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}+{\frac {1}{1^{2}}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \left.+\varphi ^{VII}0\left({\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}-{\frac {1}{1^{2}}}\!\cdot \!{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}+{\frac {1}{1^{4}}}\!\cdot \!{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{1^{6}}}\right)+\mathrm {etc.} \right\}\\[2ex]-{\frac {1}{2}}&\sin .2x\left\{\varphi ^{I}0+\varphi ^{III}0\left({\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{2^{2}}}\right)+\varphi ^{V}0\left({\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {1}{2^{2}}}\!\cdot \!{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \left.+\varphi ^{VII}0\left({\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}-{\frac {1}{2^{2}}}\!\cdot \!{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}+{\frac {1}{2^{4}}}\!\cdot \!{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{2^{6}}}\right)+\mathrm {etc.} \right\}\\[2ex]+{\frac {1}{3}}&\sin .3x\left\{\varphi ^{I}0+\varphi ^{III}0\left({\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{3^{2}}}\right)+\varphi ^{V}0\left({\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {1}{3^{2}}}\!\cdot \!{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}+{\frac {1}{3^{2}}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \left.+\varphi ^{VII}0\left({\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}-{\frac {1}{3^{2}}}\!\cdot \!{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}+{\frac {1}{3^{4}}}\!\cdot \!{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{3^{6}}}\right)+\mathrm {etc.} \right\}\\[2ex]-{\frac {1}{4}}&\sin .4x\left\{\varphi ^{I}0+\varphi ^{III}0\left({\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{4^{2}}}\right)+\varphi ^{V}0\left({\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {1}{4^{2}}}\!\cdot \!{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}+{\frac {1}{4^{2}}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \left.+\varphi ^{VII}0\left({\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}-{\frac {1}{4^{2}}}\!\cdot \!{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}+{\frac {1}{4^{4}}}\!\cdot \!{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-{\frac {1}{4^{6}}}\right)+\mathrm {etc.} \right\}\\[2ex]+\;\;&\mathrm {etc.} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;(\mathbf {A} )\\\end{aligned}}$

On peut se servir de la série précédente pour réduire en séries de sinus, d’arcs multiples une fonction proposée