Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/252

220

THÉORIE DE LA CHALEUR.

à l’infini, en omettant la seconde de ces fractions ${\tfrac {1}{2^{2}}}\,;$ on aura, pour déterminer la valeur de $b_{2}$ l’équation

$2b_{2}{\tfrac {1^{2}-2^{2}}{1^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}.6^{2}.\dots }}.=\mathrm {A} _{2}-\mathrm {BP} _{2}+\mathrm {CQ} _{2}-\mathrm {DR} _{2}+\mathrm {ES} _{2}-\mathrm {FT} _{2}+\mathrm {etc.}$

En représentant en général par $\mathrm {P} _{n}\,\mathrm {Q} _{n}\,\mathrm {R} _{n}\,\mathrm {S} _{n}\,T_{n}\dots$ les sommes des produits que l’on peut faire en combinant diversement toutes les fractions ${\tfrac {1}{1^{2}}}\,{\tfrac {1}{2^{2}}}\,{\tfrac {1}{3^{2}}}\,{\tfrac {1}{4^{2}}}\,{\tfrac {1}{5^{2}}}\dots$ à l’infini, après avoir seulement omis la fraction ${\tfrac {1}{n^{2}}}\,;$ on aura en général, pour déterminer les quantités $a_{1}\,b_{2}\,c_{3}\,d_{4}\,e_{5}\dots$ etc., les équations suivantes :

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}-\mathrm {BP} _{1}+\mathrm {CQ} _{1}-\mathrm {DR} _{1}+\mathrm {ES} _{1}-\mathrm {etc.} &=\;\,a_{1}{\tfrac {1}{2^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}\dots }}\\\mathrm {A} _{2}-\mathrm {BP} _{2}+\mathrm {CQ} _{2}-\mathrm {DR} _{2}+\mathrm {ES} _{2}-\mathrm {etc.} &=2b_{2}{\tfrac {(1^{2}-2^{2})}{1^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}\dots }}\\\mathrm {A} _{3}-\mathrm {BP} _{3}+\mathrm {CQ} _{3}-\mathrm {DR} _{3}+\mathrm {ES} _{3}-\mathrm {etc.} &=3c_{3}{\tfrac {(1^{2}-3^{2})(2^{2}-3^{2})}{1^{2}.2^{2}.4^{2}.5^{2}.6^{2}\dots }}\\\mathrm {A} _{4}-\mathrm {BP} _{4}+\mathrm {CQ} _{4}-\mathrm {DR} _{4}+\mathrm {ES} _{4}-\mathrm {etc.} &=4d_{4}{\tfrac {(1^{2}-4^{2})(2^{2}-4^{2})(3^{2}-4^{2})}{1^{2}.2^{2}.3^{2}.5^{2}.6^{2}\dots }}\\\mathrm {etc.} \qquad &\\\end{aligned}}$

212.

Si l’on considère maintenant les équations $(e)$ qui donnent les valeurs des coëfficients $a\,b\,c\,d\dots$ etc., on aura les résultats suivants :