Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/246

214

THÉORIE DE LA CHALEUR.

Si maintenant on élimine la dernière inconnue $e_{5},$ au moyen des cinq équations qui contiennent $\mathrm {A_{5}} \mathrm {B_{5}} \mathrm {C_{5}} \mathrm {D_{5}} \mathrm {E_{5}} ,$ etc. on trouvera

${\begin{aligned}a_{5}(5^{2}-1^{2})+2\;\,b_{5}(5^{2}-2^{2})+3\;\,c_{5}(5^{2}-3^{2})+4\;\,d_{5}(5^{2}-4^{2})&=5^{2}\mathrm {A} _{5}-\mathrm {B} _{5}\\a_{5}(5^{2}-1\;\,)+2^{3}b_{5}(5^{2}-2^{2})+3^{3}c_{5}(5^{2}-3^{2})+4^{3}d_{5}(5^{2}-4^{2})&=5^{2}\mathrm {B} _{5}-\mathrm {C} _{5}\\a_{5}(5^{2}-1\;\,)+2^{5}b_{5}(5^{2}-2^{2})+3^{5}c_{5}(5^{2}-3^{2})+4^{5}d_{5}(5^{2}-4^{2})&=5^{2}\mathrm {C} _{5}-\mathrm {D} _{5}\\a_{5}(5^{2}-1\;\,)+2^{7}b_{5}(5^{2}-2^{2})+3^{7}c_{5}(5^{2}-3^{2})+4^{7}d_{5}(5^{2}-4^{2})&=5^{2}\mathrm {D} _{5}-\mathrm {E} _{5}\\\end{aligned}}$

On aurait pu déduire ces quatre équations des quatre qui forment le système précédent, en mettant dans ces dernières au lieu de

${\begin{array}{rl}a_{4}&\quad (5^{2}-1\;\,)\,a_{5}\\b_{4}&\quad (5^{2}-2^{2})\,b_{5}\\c_{4}&\quad (5^{2}-3^{2})\,c_{5}\\d_{4}&\quad (5^{2}-4^{2})\,d_{5}\\\end{array}}$

et au lieu de

${\begin{array}{lrl}&\mathrm {A} _{4}&\quad 5^{2}\mathrm {A} _{5}-\mathrm {B} _{5}\\&\mathrm {B} _{4}&\quad 5^{2}\mathrm {B} _{5}-\mathrm {C} _{5}\\&\mathrm {C} _{4}&\quad 5^{2}\mathrm {C} _{5}-\mathrm {D} _{5}\\&\mathrm {D} _{4}&\quad 5^{2}\mathrm {D} _{5}-\mathrm {E} _{5}\\\end{array}}$

On pourra toujours, par des substitutions semblables, passer du cas qui répond à un nombre $m$ d’inconnues à celui qui répond à un nombre $m+1.$ En écrivant par ordre