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CHAPITRE III.

et $\varphi (0,y)=1$ ; elle satisfait aussi à l’équation générale ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0,$ puisque l’équation $(c)$ est une transformée de l’équation (B). Donc elle représente exactement le système des températures permanentes ; et comme ce dernier état est unique, il est impossible qu’il y ait aucune autre solution, ou plus générale ou plus restreinte.

L’équation $(c)$ fournit, au moyen des tables, la valeur de l’une des trois indéterminées $v,\,x,\,y,$ lorsque les deux autres sont données ; elle fait connaître très-clairement la nature de la surface qui a pour ordonnée verticale la température permanente d’un point donné de la lame solide. Enfin on déduit de cette même équation les valeurs des coëfficients différentiels ${\frac {dv}{dx}}$ et ${\frac {dv}{dy}}$ qui mesurent la vitesse avec laquelle la chaleur s’écoule dans les deux directions orthogonales ; et l’on connaîtra par conséquent la valeur du flux dans toute autre direction.

Ces coëfficients sont exprimés ainsi

${\frac {dv}{dx}}=-2\cos .y\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{2x}+2\cos .2y+e^{-2x}}}\right),\qquad {\frac {dv}{dy}}=-2\sin .y\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{2x}+2\cos .2y+e^{-2x}}}\right).$

On remarquera que, dans l’article 194 la valeur de ${\frac {dv}{dx}}$, et celle de ${\frac {dv}{dy}}$ sont données par des séries infinies dont il est facile de trouver la somme, en remplaçant les quantités trigonométriques par des exponentielles imaginaires. On obtient ainsi ces mêmes valeurs de ${\frac {dv}{dx}}$, et ${\frac {dv}{dy}}$ que nous venons de rapporter.